7.1.2　复数的几何意义

7.1.2　复数的几何意义 课标要求 情境导入 1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系（直观想象）. 2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系（直观想象）. 3.通过向量的模表示复数的模（数学运算）. 　　大自然中有许多一一对应关系，数学中也有许多一一对应关系，例如同学们所在班级里的座位与每一位同学就是一一对应关系. 　　为了增强复数的应用性，使复数不仅有“数”的特征，还要有“形”的特征，引入了复平面的概念，从“形”的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础. 知识点一｜复数与复平面内点的关系 问题1　有序实数对是和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 提示：复数a＋bi（a，b∈R）实质上是实数的有序实数对（a，b），所以复数可以和坐标平面上的点一一对应. 【知识梳理】 1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，　x轴　叫做实轴，　y轴　叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b），这是复数的一种几何意义. 　　提醒：复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点是（a，b），而不是（a，bi）. 【例1】　在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点： （1）在虚轴上； 解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在复平面内对应的点为（m2－2m－8，m2＋3m－10）. （1）由题意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或4. （2）第二象限； 解：（2）由题意，∴2＜m＜4.故实数m的取值范围是（2，4）. （3）在直线y＝x上. 分别求实数m的值或范围. 解：（3）由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝. 【规律方法】 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据； （2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 训练1　（1）已知a，b∈R，那么在复平面内复数a－bi，－a－bi对应的点（　　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称 （2）当＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋（m－1）i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：（1）B　（2）D 解析：（1）在复平面内复数a－bi对应的点为（a，－b），－a－bi对应的点为（－a，－b），两点关于y轴对称. （2）当＜m＜1时，3m－2＞0，m－1＜0，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限. 知识点二｜复数与复平面内向量的关系 问题2　在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，试想复数与平面向量存在对应关系吗？ 提示：存在，在复平面内，复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点Z（a，b），点Z（a，b）对应向量，则复数与平面向量存在对应关系. 【知识梳理】 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量　　由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定. 　　提醒：复数与平面向量一一对应 【例2】　（链接教材P71例2（1））在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数. 解：记O为复平面的原点， 由题意得＝（2，3），＝（3，2），＝（－2，－3）. 设＝（x，y），则＝（x－2，y－3），＝（－5，－5）. 由题意知，＝， 所以即 故点D对应的复数为－3－2i. 【规律方法】 复数与平面向量的对应关系 根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的 ... ...