7.2.2　复数的乘、除运算

7.2.2　复数的乘、除运算 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（数学抽象）. 2.理解复数乘法的运算律（数学运算）. 　　 知识点一｜复数的乘法 问题1　（1）类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ （2）类比实数乘法的运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？写出你的猜想. 【知识梳理】 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝　　　　　　　. 2.复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝　　　 结合律 （z1z2）z3＝　　　　　　　 分配律 z1（z2＋z3）＝　　　　　　　　　 【例1】　（链接教材P78例3、例4）计算下列各题： （1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）； （2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i. 【规律方法】 复数的乘法运算法则的应用 （1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简； （2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等. 训练1　（1）计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（　　） A.2i－13 B.13＋2i C.13－2i D.－13－2i （2）已知i是虚数单位，若复数（1＋ai）（2＋i）是纯虚数，则实数a＝（　　） A.2 B. C.－ D.－2 知识点二｜复数的除法 问题2　类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 【知识梳理】 复数的除法法则 （a＋bi）÷（c＋di）＝＝　　　　　　　　　　　（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）. 　　提醒：复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数. 【例2】　（链接教材P79例5）计算： （1）（1－2i）÷（2＋i）； （2）； （3）. 【规律方法】 1.两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 2.常用公式 （1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i. 训练2　（1）＝（　　） A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i （2）已知复数z满足（1－i）＝3＋5i，则复数z＝（　　） A.4＋4i B.4－4i C.－1＋4i D.－1－4i 知识点三｜i幂值的周期性及应用 【例3】　（1）若复数z＝＋i3＋i4，则z＝（　　） A.1－2i B.1＋2i C.1 D.－1 （2）计算：［（1＋2i）·i100＋（）5］2－（）20＝　　　　. 【规律方法】 利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 训练3　（1）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是　　　　； （2）计算（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）＝　　　　. 提能点｜在复数范围内解方程 【例4】　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0（b，c为实数）的一个根. （1）求b，c的值； （2）试判断1－i是不是方程的一个根. 【规律方法】 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法： （1）求根公式法： ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ＜0时，x＝. （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解； （3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－，x1x2＝. 训练4　（1）已知复数z满足z2＋z＋1＝0且是z的共轭复数，则z＋＝（　　） A.－1 B.1 C. D.－ （2）在复数范围内，方程x2－2x＋2＝0的根为　　　　. 1.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝（　 ... ...