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课件网) 培优课 空间几何体的截面问题 能力提升 1.理解空间几何体被平面所截所得的截面、交线、交点（直观想象）. 2.会作简单几何体的截面图（逻辑推理、直观想象）. 3.会计算简单几何体截面图的面积、周长或部分交线长（数学运算）. 重点解读 截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几何体棱的交集（交点）叫做截点. 一、直接法作截面 【例1】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为A1B1， B1C1的中点，过M，N的平面所得截面为四边形，则该截面的最大面积为 （ ） A. 2 B. 2 C. D. √ 解析： 如图所示，面积最大的截面四边形为等腰梯 形MNCA，其中MN＝ ，AC＝2 ，AM＝CN＝ ，高为h＝ ＝ ，故面积为 ×（ ＋ 2 ）× ＝ . 【规律方法】 若截面与几何体的交点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借 助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这 个平面内”，直接连线作截面.连接该两点即为几何体与截面的交线，找 截面实际就是找交线的过程. 训练1 〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分 别为棱A1C1，B1C1，BC，AC上的点，过E，F，G，H四点作截面，则 截面的形状可以为（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 √ √ √ 解析： 截面图如图所示，因为ABC-A1B1C1为直三 棱柱，则平面A1B1C1∥平面ABC，截面过平面A1B1C1、平面ABC，则交线EF∥HG，当FG不与B1B平行时，此时截得的EH不平行于FG，四边形EFGH为梯形；当FG∥B1B时，此时截得的EH∥FG，FG⊥EF，当EH≠EF时，四边形EFGH为矩形；当EH＝EF时，四边形EFGH为正方形.故A、C、D正确. 二、平行法作截面 【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在棱AD上，过点 P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且该截面的面积为 时， 求线段AP的长. 解：如图，连接BD，A1D，过点P作BD，A1D的平行 线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR. 因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，因为B1D1 平面 B1D1C，PQ 平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C. 因为A1D∥B1C，所以PR∥B1C. 因为B1C 平面 B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C. 又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则平面PQR为截面，易知△PQR是等边三角形，则 PQ2· ＝ ，解得 PQ＝2，所以AP＝ PQ＝ . 【规律方法】 若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的 某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面， 经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如 果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行 线法作截面. 训练2 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中 点，过A，D1，E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分，则 该截面的周长为（ ） A. 3 ＋2 B. 2 ＋ ＋3 C. D. 2 ＋2 ＋2 √ 解析： 如图，取BC的中点F，连接EF，AF， BC1，E，F分别为棱CC1，BC的中点，则EF∥BC1， 又在正方体中BC1∥AD1，则有EF∥AD1，所以平面 AFED1为所求截面，因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为2，所以EF＝ ，D1E＝AF＝ ＝ ， AD1＝2 ，所以四边形AFED1的周长为3 ＋2 . 三、延长线法作截面 【例3】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法. 解：如图所示，五边形DQMFN为所求截面. 作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H，连接DH交AA1于点Q，连接QM ... ...
