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课件网) 第二课时 直线与平面垂直的性质 1.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题（逻辑推理）. 2.了解异面直线间的距离的定义，掌握点到面的距离的定义及其求法（数学抽象、数学运算）. 3.掌握直线与平面、平面与平面间的距离的定义及其求法（数学抽象、数学运算）. 课标要求 如图所示，餐厅大门两根水泥柱均与底面垂直，两水泥柱相互平行，这一图形中涉及的问题就是直线与平面垂直的性质定理的体现. 情景导入 知识点一 直线与平面垂直的性质定理 01 知识点二 空间中的距离问题 02 目录 课时作业 03 知识点一 直线与平面垂直的性质定理 01 PART 问题1 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空 间中是否有类似的性质呢？ 提示：在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一 平面的两直线一定平行. 【知识梳理】 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 符号语言 a⊥α，b⊥α a∥b 图形语言 平行 提醒：（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的 另一种方法；（2）直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直 关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据. 【例1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上， EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1. 证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD. ∵AC∥A1C1，EF⊥AC， ∴EF⊥A1C1. 又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1 平面 A1C1D， ∴EF⊥平面A1C1D， ① ∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1. ∵四边形A1B1C1D1为正方形， ∴A1C1⊥B1D1， 又B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D， 而BD1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1. 同理DC1⊥BD1. 又DC1∩A1C1＝C1，DC1，A1C1 平面A1C1D，∴BD1⊥平面A1C1D， ② 由①②可知EF∥BD1. 【规律方法】 证明线线平行常用的方法 （1）利用线线平行定义：证共面且无公共点； （2）利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线； （3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； （4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； （5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 训练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD. 求证：l∥AE. 证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD， 又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD. 因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE. 又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平 面PCD. 因为l⊥平面PCD，所以l∥AE. 知识点二 空间中的距离问题 02 PART 角度1 求点到平面的距离 【例2】 已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝ ，S是△ABC所在平 面外一点，SA＝SB＝2，SC＝ ，点P是SC的中点，求点P到平面 ABC的距离. 解：法一 如图，连接PA，PB，由题意得SA⊥AC， BC⊥AC. 分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则 EF∥BC，PF∥SA. 所以EF⊥AC，PF⊥AC. 因为PF∩EF＝F，PF， EF 平面PEF，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC. 因为 所以△SAC≌△SBC，又P为SC的中点， 所以PA＝PB. 又E是AB的中点，所以PE⊥AB. 因为AB∩AC＝A， AB，AC 平面ABC，所以PE⊥平面ABC. 从而PE的长就是点P到平面ABC的距离. 因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中， AP＝ SC＝ ，AE＝ AB＝ ，所以PE＝ ＝ ＝ ，即点P到平面ABC的距离为 . 法二 如图，在平面ABC内，过点A作BC的平行线，过 点B作AC的平行线，两直线交于点D. 因为AC＝BC＝1，AB＝ ，所以AC⊥BC. 所以四边 形ADBC为正方形，连接SD. 由题意得AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，SA ... ...
