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课件网) 6.2.4 向量的数量积 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（数学抽象、直观想象）. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系（逻辑推理）. 课标要求 前面我们学习了向量的线性运算，包括加法、减法和数乘运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 情景导入 第一课时 向量的夹角、数量积的定义及投影向量 知识点一 两向量的夹角 01 知识点二 两向量的数量积 02 知识点三 投影向量 03 目录 课时作业 04 知识点一 两向量的夹角 01 PART 问题1 物理上已学习了物体在力F的作用下发生了位移s，那么F所做的 功为W＝｜F｜｜s｜ cos θ.在计算公式中，θ的几何意义是什么？ 提示：θ是向量F与向量s的夹角. 【知识梳理】 1. 夹角：已知两个 a，b（如图），O是平面上的任意一 点，作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹角 θ的取值范围是 .a，b的夹角记作＜a，b＞. 当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b . 非零向量 ∠AOB＝θ 0≤θ≤π 同向 反向 2. 垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 . 提醒：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是 [0，π]，而两直线夹角的范围为 . a⊥b 解：如图所示，作 ＝a， ＝b，且∠AOB＝60°. 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则 ＝a＋b， ＝a－b. 因为｜a｜＝｜b｜＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以 与 的夹角为30°， 与 的夹角为60°.即a ＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 【例1】 已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的 夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 【规律方法】 求两个向量夹角的方法 （1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作 两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出； （2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为 θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 训练1 如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC， AC的中点，写出下列各组向量的夹角. （1） 与 ； 解： 与 的夹角是∠EDF＝60°. （2） 与 . 解： 因为 ＝ ，所以 与 的夹角等于 与 的夹角，即 ∠EDA＝120°. 知识点二 两向量的数量积 02 PART 【知识梳理】 1. 向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 ，即 . 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 提醒：（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省 略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可 负、可为0，这个数量的大小与两向量的长度及其夹角有关. ｜a｜｜b｜ cos θ a·b a·b＝｜ a｜｜b｜ cos θ 2. 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量， 则： （1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ； （2）a⊥b ； （3）当a∥b时，a·b＝ 特别地，a2＝a·a＝｜a｜ 2或｜a｜＝ ； （4）a·b ｜a｜｜b｜； （5） cos θ＝ . a·b＝0 ≤ 【例2】 （1）（链接教材P17例9）若｜m｜＝4，｜n｜＝6，m与n的 夹角θ为120°，则m·n＝（ D ） A. 12 B. 12 C. －12 D. －12 解析： m·n＝｜m｜｜n｜ cos θ＝4×6× cos 120°＝24×（－ ）＝ －12.故选D. D （2）已知正三角形ABC的边长为1，则 · ＝ ， · ＝ . 解析： ∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝ ... ...
