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课件网) 第三课时 用余弦定理、正弦定理解三角形 知识点一 有关三角形面积的计算 01 知识点二 求解平面几何问题 02 知识点三 正弦、余弦定理的综合应用 03 目录 课时作业 04 知识点一 有关三角形面积的计算 01 PART 问题 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？ 提示：边b上的高h为a sin C，故面积为S＝ bh＝ ab sin C. 【知识梳理】 1. 三角形的面积计算公式 （1）S＝ a·ha＝ b·hb＝ c·hc（ha，hb，hc分别表示a，b，c上 的高）； （2）S＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ac sin B； （3）S＝ （a＋b＋c）·r（r为△ABC内切圆的半径）. 2. △ABC中的常用结论 （1）A＋B＋C＝ ， sin （A＋B）＝ ， cos （A＋ B）＝ ； （2）大边对大角，即a＞b A＞B sin A＞ sin B cos A＜ cos B. 180° sin C － cos C 【例1】 （1）设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a ＝4，b＝6， cos C＝－ ，则△ABC的面积为（ B ） A. 6 B. 6 C. 12 D. 8 解析： ∵0＜C＜π，∴ sin C＝ ＝ ，∴S△ABC＝ ab sin C＝ ×4×6× ＝6 .故选B. B （2）若△ABC的面积为 ，BC＝2，C＝60°，则AB＝ . 解析： 法一 由S△ABC＝ AC·BC· sin C＝ ，得AC＝2，由余 弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos 60°＝22＋22－2×2×2× ＝4，所以AB＝2，即边AB的长度为2. 2 法二 由S△ABC＝ AC·BC· sin C＝ ，得AC＝2，所以AC＝BC＝ 2，又C＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB＝2，即边AB的长度 为2. 【规律方法】 求三角形面积的解题思路 在应用三角形面积公式S＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ac sin B求解时，一般是 已知哪个角就使用哪一个公式. 训练1 （1）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面 积为 ，且b＝2，c＝ ，则A＝（ D ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120°或60° 解析： 已知S△ABC＝ bc sin A＝ ，则有 ×2× sin A＝ ，所以 sin A＝ .因为0°＜A＜180°，所以A＝60°或120°.故选D. D （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2－8＝ （b－c）2，A＝ ，则△ABC的面积是（ D ） A. 4 B. 2 C. 4 D. 2 解析： 由a2－8＝（b－c）2，得b2＋c2－a2＝2bc－8，因为A＝ ，所以由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝ ，解得bc＝8，所以 △ABC的面积是 bc sin A＝ ×8× ＝2 .故选D. D 知识点二 求解平面几何问题 02 PART 【例2】 如图，在圆内接四边形ABCD中，B＝120°，AB＝2，AD＝ 2 ，△ABC的面积为 .求： （1）AC； 解： 因为△ABC的面积为 ， 所以 AB·BC sin B＝ . 又因为B＝120°，AB＝2，所以BC＝2. 由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝22＋22－2×2×2 cos 120°＝12，所以AC＝2 . （2）∠ACD. 解：因为四边形ABCD为圆内接四边形，且B＝120°，所以D＝60°. 又AD＝2 ，由正弦定理可得 ＝ ， 故 sin ∠ACD＝ ＝ ＝ . 因为AC＞AD，所以0°＜∠ACD＜60°， 所以∠ACD＝45°. 【规律方法】 多边形中计算问题的解题思路 （1）正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用 正弦定理、余弦定理.只需通过解三角形，一般问题便能很快解决； （2）解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件. 训练2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB为直角，AB＝c，AC＝b，BC＝ a，且 cos B＝ . （1）求B的大小； 解：∵∠ACB＝ ，∴ cos B＝ ＝ ＝ ， 整理得2a2－c2＋ac＝0，即（2a－c）（a＋c）＝0. ∵a＋c＞0，∴2a－c＝0，即2a＝c. ∴ cos B＝ ， ∵B为△ABC的内角，∴B∈（0，π），∴B＝ . （2）若c＝3，D为AB边上一点，且AD＝1，求 sin ∠BCD. 解：依题意，知c＝AB＝3，BD＝AB－AD＝2，BC＝AB· cos B ＝ . 在△BCD ... ...
