第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 素养目标 思维导图 1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.(数学抽象) 2.理解平面向量的几何表示和基本要素.(直观想象) 课前自主学习 问题1.在物理中,我们学习过位移、速度和力,这些物理量与我们日常生活中的面积、质量有什么区别 提示:面积、质量只有大小,没有方向,而位移、速度和力既有大小,又有方向. 问题2.平面直角坐标系中的x轴是如何表示方向的 提示:用箭头表示方向. 【核心概念】 1.向量和数量 (1)向量:在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量:把只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量. 2.有向线段 (1)概念:通常在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段. (2)有向线段的表示:通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作. (3)有向线段的长度:线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作||. 3.向量的表示 几何表示:用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向,即用有向线段的起点、终点字母表示,如,… 字母表示:用小写字母a,b,c,…表示,手写时必须加箭头. 4.向量的长度(或称模)与特殊向量 (1)向量的长度定义:向量的大小叫做向量的长度(或称模). (2)向量的长度表示:向量,a的长度分别记作:||,|a|. (3)特殊向量: ①长度为0的向量称为零向量,记作0,方向不确定; ②长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 5.向量间的关系 (1)相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作:a=b. (2)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫共线向量;a平行于b,记作a∥b;规定零向量与任意向量平行. 课堂合作探究 探究点一 向量的有关概念 【典例1】(1)下列量中是向量的为 ( ) A.频率 B.拉力 C.体积 D.距离 【思维导引】根据向量与数量的定义直接判断. 【解析】选B.显然频率、体积、距离,它们只有大小,不是向量,而拉力既有大小又有方向,所以拉力是向量. (2)下列说法错误的是 ( ) A.向量与向量长度相等 B.起点相同的单位向量,终点必相同 C.向量的模可以比较大小 D.任一非零向量都可以平行移动 【解析】选B.和长度相等,方向相反,故A正确;单位向量的方向不确定,故起点相同时,终点不一定相同,故B错误;向量的长度可以比较大小,即模长可以比较大小,故C正确;向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零向量都可以平行移动,故D正确. 【类题通法】 解决向量有关概念问题的方法 (1)物理中矢量与标量:熟悉一些常见物理量,如质量、位移、速度、速率、功是否为向量. (2)准确、全面理解向量的有关概念:明确零向量和单位向量,注意相等向量、共线向量、平行向量之间的区别和联系. 【定向训练】 1.下列说法正确的是 ( ) A.平行向量就是向量所在直线平行的向量 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量的长度为0 D.共线向量是在一条直线上的向量 【解析】选C.平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A错;长度相等、方向不同的向量不是相等向量,故B错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故D错. 2.下列命题中不正确的命题个数为 ( ) ①若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; ②若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反; ③对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b; ④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.①不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小.②不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.③正确.因为|a|=|b|,且a与b同向.由 ... ...
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