6.2 第3课时 向量的数乘运算（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

(课件网) 第六章 6.2　平面向量的运算 平面向量及其应用 第3课时　向量的数乘运算 学习 目标 1．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算． 2．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题． 新知初探·基础落实 一根细绳按东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a． 思考1：蚂蚁向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？ 3a． 思考2：蚂蚁向西运动5秒钟的位移对应的向量怎样表示？ 5a． 一、 概念生成 如图所示，已知非零向量a，作出a＋a＋a和( a)＋( a)＋( a)，它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？ 如图，＝＋＋＝a＋a＋a＝3a． ＝＋＋＝( a)＋( a)＋( a)＝ 3a． 显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍； 3a的方向与a的方向相反， 3a的长度是a的长度的3倍． 请同学阅读课本P13—P16，完成下列填空． 二、 概念表述 1．向量的数乘 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个_____，记作λa．实数λ与向量a相乘的运算，叫做向量的数乘 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 a≠0 λ＞0 λa的方向与a的方向_____ λ＜0 λa的方向与a的方向_____ 特殊情况 当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0 几何意义 当λ＞0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小 向量 相同 相反 2．向量数乘的运算律与向量的线性运算 设a，b为向量，λ，μ为实数，那么 (1) λ(μa)＝_____； (2) (λ＋μ)a＝_____； (3) λ(a＋b)＝_____． 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算． 3．向量a(a≠0)，b共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使得_____． (λμ)a λa＋μa λa＋λb b＝λa 三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 实数λ与向量a的积还是向量． (　　) (2) 若ma＝mb，则a＝b． (　　) (3) (m n)a＝ma na． (　　) (4) ( 3)·2a＝ 6a． (　　) √ × √ √ 典例精讲·能力初成 探究 1 对向量数乘运算的理解 　　　设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是 (　　) A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C． D．≥|λ|a 1 【解析】 　　　　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，故A不正确；对于B，显然λ2＞0，故B正确；对于C，＝|λ|，由于|λ|与1的大小关系不确定，故的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确． B 变式　(多选)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是 (　　　) A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B． 2a与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的 C． 2a与2a是一对相反向量 D．a b与 (b a)是一对相反向量 【解析】 　　　　因为2＞0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|，所以A正确；因为5＞0，所以5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又 2＜0，所以 2a与a的方向相反，且| 2a|＝2|a|，所以 2a与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为 (b a)与b a是一对相反向量，a b与b a是一对相反向量，所以a b与 (b a)为相等向量，所以D不正确． 【答案】ABC 探究 2 向量的线性运算 　　　(课本P14例5)计算： (1) ( 3)×4a； 2 【解答】 　　　　原式＝( 3×4)a＝ 12a． (2) 3(a＋b) 2(a b) a； 【解答】 　　　　原式＝3a＋3b 2a＋2b a＝5b． (3) (2a＋3b c) (3a 2b＋c)． 【解答】 　　　　原式＝2a＋3b c 3a＋2b c＝ a＋5b 2c． 向量线性运算的基本方法 (1) 类比法：向量的数 ... ...