(
课件网) 第六章 6.2 平面向量的运算 平面向量及其应用 第5课时 向量的数量积(2) 学习 目标 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 新知初探·基础落实 向量a，b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？ a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为向量a，b的夹角． 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1) a·e＝e·a＝|a|cos θ． (2) a⊥b a·b＝0． (3) 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝ |a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．(在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方) (4) |a·b|≤|a||b|． 一、 概念生成 提出问题：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？ 请同学阅读课本P20—P22，完成下列填空． 二、 概念表述 1．向量数量积的运算律 (1) a·b＝_____；(交换律) (2) (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(数乘结合律) (3) (a＋b)·c＝_____．(分配律) b·a a·c＋b·c 注意： (1) 向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，不能得到a＝b． (2) (a·b)·c≠a·(b·c)．因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 2．向量数量积的常用结论 (1) (a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2； (2) a2 b2＝(a＋b)·(a b)＝|a|2 |b|2； (3) (a＋b)2＋(a b)2＝2(|a|2＋|b|2)； (4) a2＋b2＝0 a＝b＝0． 典例精讲·能力初成 探究 1 向量数量积的运算律 (课本P21例11)我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a b)＝a2 b2．对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？ (1) (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (2) (a＋b)·(a b)＝a2 b2． 1 【解答】 (a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2． (a＋b)·(a b)＝a·a a·b＋b·a b·b＝a2 b2． 因此，上述结论是成立的． 探究 2 向量数量积的应用 视角1 数量积的运算 (课本P21例12)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a 3b)． 【解答】 (a＋2b)·(a 3b)＝a·a 3a·b＋2b·a 6b·b＝|a|2 a·b 6|b|2＝ |a|2 |a||b|cos θ 6|b|2＝62 6×4×cos 60° 6×42＝ 72． 2－1 求平面向量数量积的步骤 (1) 求a与b的夹角θ，θ∈［0，π］； (2) 分别求|a|和|b|； (3) 求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． 变式 已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°． (1) 求a·b； 【解答】 a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝ 6． (2) 求a2 b2； 【解答】 a2 b2＝|a|2 |b|2＝32 42＝ 7． (3) 求(2a b)·(a＋3b)． 【解答】 (2a b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b 3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120° 3|b|2＝2×32＋5×3×4× 3×42＝ 60． 视角2 向量的夹角问题 (课本P21例13)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a kb相垂直？ 2－2 【解答】 a＋kb与a kb互相垂直的充要条件是(a＋kb)·(a kb)＝0，即a2 k2b2＝0．因为a2＝32＝9，b2＝42＝16，所以9 16k2＝0，解得k＝±．故当k＝±时，a＋kb与a kb互相垂直． 1．解决有关垂直问题时，利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)． 2．求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以先直接求出a·b，|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以先寻找|a|，|b|，a·b ... ...
