(
课件网) 4 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 第一章 三角形的证明及其应用 1. 掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题. (重点) 2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法. (难点) 如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O. 你发现了什么 我们把垂直且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线. A(B) B O A B 如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗 改变点 P 的位置，结论还成立吗 A P B C 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能证明这一结论吗？ 探究点1：线段垂直平分线的性质 【证一证】已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，AC = BC，P 是 MN 上的任意一点. 求证：PA = PB． 证明：∵ MN⊥AB， ∴ PA = PB (全等三角形的对应边相等)． ∴△PCA≌△PCB (SAS)． 又 AC = BC，PC = PC， ∴∠PCA =∠PCB = 90°． P A B M C N 如果点 P 与点 C 重合，那么结论显然成立. 探究点1：线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 【知识要点】 探究点1：线段垂直平分线的性质 例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 ( ) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C 探究点1：线段垂直平分线的性质 解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB， ∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 探究点1：线段垂直平分线的性质 练一练： 1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . B 10 cm P A B C D 图① A B C D E 图② 探究点1：线段垂直平分线的性质 它是真命题吗？你能证明吗？ 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 逆命题 探究点2：线段垂直平分线的判定 想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论 探究点2：线段垂直平分线的判定 ① 当点 P 在线段 AB 上时， ∵ PA = PB， ∴ 点 P 为线段 AB 的中点， 显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上； ② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示. ∵ PA = PB， ∴△PAB 是等腰三角形. 过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C. ∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线. 即 PC⊥AB，且 AC = BC. ∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线， 此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上. 探究点2：线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【知识要点】 探究点2：线段垂直平分线的判定 例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. 证明：∵ AB = AC， 你还有其他证明方法吗？ C A B O ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线 ... ...
