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课件网) 课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 6.2.3 向量的数乘运算 素养目标 思维导图 通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.(数学抽象、直观想象) 课前自主学习 问题1.(1)已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),它们的长度和向分别是怎 样的 提示:作出a+a+a为: a+a+a的长度为a的3倍,向与a的向相同. 作出(-a)+(-a)+(-a)为: (-a)+(-a)+(-a)的长度为a的3倍,向与a的向相反. (2)在整式运算中,我们可以将x+x+x用乘法简写为3x,对于非零向量a+a+a,(-a)+ (-a)+(-a)我们可以怎样简写呢 提示:a+a+a=3a;(-a)+(-a)+(-a)=-3a. 问题2.(1)如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况 提示:向相同或向相反或其中一个为零向量. (2)若b=2a,b与a共线吗 λa与a(λ≠0,a≠0)的向有何关系 提示:a与b共线,λa与a的向相同或相反. (3)若两个非零向量a,b共线,是否一定存在实数λ使得b=λa 提示:一定存在,且是唯一的. 【核心概念】 1.向量的数乘 一般地,实数λ与向量a的乘积是一个_____,这种运算叫做向量的数乘,记作λa. 2.向量的数乘的长度与向 (1)长度:|λa|=|λ||a|. (2)λa(a≠0)的向 特别地,当λ=0时,λa=0,当λ=-1时,(-1)a=-a. (3)几何意义:λa中的实数λ,叫做向量a的_____.λa可以看作是把向量a沿着a的向 (λ>0时)或a的反向(λ<0时)扩大或缩小得到的. 向量 系数 3.向量的数乘运算律 设λ,μ为实数,则 (1)λ(μa)=(λμ)a. (2)(λ+μ)a=λa+μa. (3)λ(a+b)=λa+λb(分配律). 特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. 4.向量的线性运算 向量的加法运算、减法运算、数乘向量运算统称为向量的线性运算,向量的线性运算的 结果仍是向量.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b. 5.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使_____. b=λa 课堂合作探究 探究点一 向量的线性运算 【典例1】化简:(1)2(a-b)+3(a+b); (2)(a+b)+(a-b); (3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b). 【思维导引】利用平面向量的线性运算的运算律求解即可. 【解析】(1)2(a-b)+3(a+b)=2a-2b+3a+3b=5a+b; (2)(a+b)+(a-b)=a+b+a-b=a; (3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b)=3a+6b-2a-6b-2a-2b=-a-2b. 【类题通法】 1.类比多项式运算:向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 2.列:向量也可以通过列来解,把所求向量当作未知数,利用代数的法求解,同时在运算过中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 【定向训练】 1.求式子中的未知向量x:3(a+2b)-4(b-x)=0. 【解析】由3(a+2b)-4(b-x)=0得3a+6b-4b+4x=0,所以x=-a-b. 2.化简式子:4(2a+3b)+3(a-b)-b. 【解析】4(2a+3b)+3(a-b)-b=8a+12b+3a-3b-b=11a+8b. 【类题通法】 证明三点共线的关键与步骤 (1)关键:用向量法证明三点共线时,关键是能否找到一个实数λ,使得b=λa(a,b为这三点构成的其中任意两个向量). (2)步骤:证明步骤是先证明向量共线,然后再由两向量有公共点,证得三点共线. √ 【知识延拓】 向量共线与线段共线的区别以及作用 (1)向量共线与线段共线的区别:向量共线时,两向量所在的线段可能平行,也可能共线;而两条线段共线时,这两条线段必定在同一条直线上. (2)向量共线定理的作用:向量共线定理可以证明线段平行,也可以证明三点共线. 探究点三 用向量的线性运算表示未知向量 【典例3】(一题多问) 古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.如图2,在正八边形ABCDEFGH中, ... ...
