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课件网) 课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 6.2.4 向量的数量积 素养目标 思维导图 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.(数学抽象、数学运算) 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(直观想象) 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(数学运算) 课前自主学习 问题1.如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,据此回答下列问题: (1)力F对物体所做的功是多少 提示:根据物理知识知W=|F||s|cos θ. (2)力做的功的大小与哪些量有关 提示:与力的大小、位移大小及它们之间的夹角有关. (3)力F在位移s向上的分力大小是多少 提示:由题图知力F在位移s向上的分力是|F|cos θ. 问题2.已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,e为单位向量,回答下列问题: (1)若a·b=0,则a与b有什么关系 提示:由a·b=|a||b|cos θ=0得cos θ=0. 所以θ=90°,则a⊥b. (2)a·e与e·a是否相等 提示:相等.a·e=e·a=|a|cos
. (3)a·a等于什么 提示:a·a=|a|·|a|cos 0°=|a|2. (4)a·b与|a||b|有怎样的大小关系 提示:由a·b=|a||b|cos θ.-1≤cos θ≤1得-|a||b|≤a·b≤|a||b|. (5)如何由向量的数量积公式求其夹角 提示:由a·b=|a|·|b|cos θ得,cos θ=,再由三角函数确定其夹角. 非零向量 ∠AOB 同向 反向 2.平面向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量_____叫做a 与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为__ |a||b|cos θ 0 4.两个向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b向相同的单位向量,则: (1)a·e=e·a=_____. (2)a⊥b _____. (3)当a与b同向时,a·b=_____;当a与b反向时,a·b=_____.特别地,a·a=___=____或|a|=. (4)|a·b|≤_____. 5.平面向量数量积的运算律 已知向量a,b,c和实数λ. (1)交换律:a·b=____. (2)结合律:(λa)·b=_____=_____. (3)分配律:(a+b)·c=_____. |a|cos θ a·b=0 |a||b| -|a||b| a2 |a|2 |a||b| b·a λ(a·b) a·(λb) a·c+b·c 课堂合作探究 探究点一 平面向量的数量积 【典例1】(1)已知|a|=1,|b|=2,a与b之间的夹角为,则a·b=( ) A.1 B. C. D. (2)(2022·国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= . 【思维导引】(1)(2)根据向量数量积公式求解. 【解析】(1)选B.a·b=|a||b|cos=1×2×=. (2)由题意可得a·b=1×3×=1,b2=9, 则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11. 答案:11 √ 【类题通法】 1.求平面向量数量积的法 (1)直接利用公式:a·b=|a||b|cos θ. (2)利用运算律:化简计算. 2.求向量数量积的注意事项 (1)要牢记数量积的运算公式. (2)要注意确定两个向量的夹角. (3)对于平行向量要注意两向量是同向还是反向. √ 2.已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积. 【解析】(1)因为a∥b,若a与b同向,则θ=0°, 所以a·b=|a||b|cos 0°=4×5=20; 若a与b反向,则θ=180°, 所以a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)当a与b夹角为60°时a·b=|a||b|cos 60°=4×5×=10. 探究点二 投影向量 【典例2】(1)已知非零向量a,b满足|a|=3|b|,向量a在向量b向上的投影向量是b,则 a与b夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【思维导引】根据投影向量可得a·b=b2,再结合向量夹角公式运算. 【解析】选A.因为向量a在向量b向上的投影向量是()b=b,所以=, 即a·b=b2.由|a|=3|b|, 可得cos===, 所以a与b夹角的余弦值为. √ (2)已知|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为60°,与b同向的单位向量为e ... ... 