1.4 线段的垂直平分线 课后培优提升同步训练（含答案）北师大版2025—2026学年八年级下册

1.4线段的垂直平分线课后培优提升同步训练北师大版2025—2026学年八年级下册 一、选择题 1．到钝角三角形三个顶点距离都相等的点在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．某一边上 D．以上都有可能 2．观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是（ ）． A．B．C．D． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为，的周长为，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 4．如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（ ） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．是等边三角形 D． 7．如图所示，在等腰中，，若和分别垂直平分和，垂足分别为E、F，M、N都在边上，且，则的长度为（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 8．如图，将等边折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，周长的最小值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 9．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为_____． 10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝8cm，∠B＝15°，则AC等于__． 11．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，，则_____． 12．如图，在中，的垂直平分线分别与交于点，的垂直平分线分别与交于点，，则的周长是_____． 三、解答题 13．已知：如图，在中，，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．求证：． 14．如图，，点E为的中点，平分，过点E作，垂足为F，连接、． (1)求证：是的平分线． (2)求证：线段垂直平分． 15．如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 16．如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 17．如图，在中，平分，于D，于E，． (1)求证：； (2)求证：点C在的垂直平分线上． 18．如图，在钝角△ABC中，∠A＝135°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，交AB、AC于点F、G． （1）连接AD，AE，求证：△ADE为直角三角形． （2）若∠C＝30°，BD＝3，CE＝3．求AC+BC的长度． （3）在（2）的条件下，AB＝　　． 参考答案 一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．D 8．D 二、填空题 9． 10．4cm． 11． 12．16 三、解答题 13．【详解】证明：∵为的垂直平分线， ∴， 又，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴线段垂直平分． 15．【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 16．【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， ∴点B、点D在的垂直平分线上， 垂直平分． （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 17．【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：在上取点F，使，连接、，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C在的垂直平分线上． 18．【详解】（1）证明：∵∠BAC＝135°， ∴∠B+∠C＝180°﹣135°＝45°， ∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E， ∴AD＝BD，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝45°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°， ... ...