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课件网) 课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 素养目标 思维导图 1.在问题情境中了解数系的扩充过,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、求根)在数系扩充过中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.(数学抽象) 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.(数学抽象) 课前自主学习 问题1.我们知道,x2+1=0在实数集中无解.那能否类比从自然数集到实数集的扩充过,通过引进新数而使实数集得到扩充,从而使这个有解吗 提示:为了解决x2+1=0这样的在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数i,使得x=i是x2+1=0的解,即使得i2=-1. 问题2.(1)复数a+bi(a,b∈R)何时表示零 提示:当且仅当a=b=0时表示零. (2)实数集R与复数集C有什么关系 提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即R C. 用图形语言描述: 问题3.由3>2能否推出3+i>2+i 两个实数能比较大小,那么两个复数一定能比较大 小吗 提示:由3>2不能推出3+i>2+i,当两个复数都是实数时,可以比较大小,当两个复数 不是实数时,不能比较大小. 【核心概念】 1.数系的扩充与复数的概念 (1)复数的定义 形如_____的数叫做复数,其中i叫做_____,满足i2 = ____,体复数所 构成的集合C叫做_____. 虚数单位 -1 复数集 a+bi(a,b∈R) (2)复数的表示 复数通常用字母z表示,即z=_____,这一表示形式叫做复数的_____, a与b分别叫做复数z的_____与_____. (3)复数相等 设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di _____. 2.复数的分类与数系表 a+bi(a,b∈R) 代数形式 实部 虚部 a=c且b=d 课堂合作探究 探究点一 复数的有关概念与表示 【典例1】(1)下列四种说法正确的是( ) A.如果实数a=b,那么a-b+(a+b)i是纯虚数 B.实数是复数 C.如果a=0,那么z=a+bi是纯虚数 D.任何数的偶数次幂都不小于零 【思维导引】根据复数的概念及分类,逐项判定,即可求解. 【解析】选B.对A,当a=b=0时,则a-b+(a+b)i是实数,故A错误; 对B,根据复数定义可知,故B正确; 对C,如果a=b=0,那么z=a+bi是实数,故C错误;对D,虚数i2=-1,故D错误. √ (2)复数z=(2-)i的虚部为( ) A.2 B.- C.2- D.(2-)i 【思维导引】根据复数虚部的知识求得正确答案. 【解析】选C.依题意,复数z=(2-)i的虚部为2-. √ 【类题通法】 判断与复数有关的命题是否正确的策 (1)复数的代数形式: 若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. 【定向训练】 1.下列复数中,满足x2+2=0的是( ) A.±1 B.±i C.±i D.±2i 【解析】选C.因为x2=-2=2i2,所以x=±i. 2.设i是虚数单位,若复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数,则实数a= ( ) A.5 B.-5 C.3 D.-3 【解析】选A.因为复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚部互为相反数,所以3+2a=-(2-3a),解得a=5. √ √ 探究点二 复数的分类与参数问题 【典例2】(一题多问) 已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),解决下列问题. (1)若复数z是实数,求实数a的值; (2)若复数z是虚数,求实数a的取值范围; (3)是否存在实数a使复数z是纯虚数 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由; (4)是否存在实数a使z=+(a2-5a-6)i>0 若存在,求出实数a的值或范围;若不存在,请说明理由. 【问题解读】(1)由复数的分类可得 ; (2)由复数的分类可得; (3)根据纯虚数的概念即得; (4)复数不能比较大小,能比较大小的是实数. 【解析】(1)若复数z是实数, 则 即所以a=6; (2)若复数z是虚数, 则即 所以实数a的取值范围为{a|a≠±1,a≠6}; (3)不存在实数a使z是纯虚数.理由如下: 若复数z是纯虚数,则即此时无解, 故复数z不是纯 ... ...
