6.4　第5课时　余弦定理、正弦定理应用举例（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

(课件网) 第六章 6.4　平面向量的应用 平面向量及其应用 第5课时　余弦定理、正弦定理应用举例 学习 目标 1．理解测量中的有关名词、术语的确切含义． 2．能够利用余弦定理和正弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题． 新知初探·基础落实 请同学阅读课本P48—P51，完成下列填空． 一、 概念表述 1．方位角、方向角、仰角和俯角 方位角 方向角 仰角和俯角 从_____方向顺时针转到目标方向线的角 (点B的方位角为α)． 相对于某一正北方向的角． (1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°． 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫仰角，在水平线_____的角叫俯角 正北 上方 下方 2．坡角与坡度 坡角：坡面与_____所成的角(称为二面角)的度数，叫做坡角． 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度，即tan α＝．如图． 水平面 典例精讲·能力初成 探究 1 测量距离问题 　　　(课本P49例9补充)如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离． 1 【解答】 　　　　在△ACD中，因为∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，所以∠CAD＝30°，所以AC＝CD＝ km．在△BDC中，∠CBD＝180° (45°＋30°＋45°)＝60°，由正弦定理，得BC＝＝＝(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2 2AC·BC·cos∠BCA＝()2＋ 2cos 75°＝5，所以AB＝ km．所以两个目标A，B之间的距离为 km． (1) 选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 变式　如图，A，B两点之间隔着一座小山，现要测量A，B两点间的距离，选择在同一水平面上且均能直线到达的C点，经测量，AC＝50 m，BC＝40 m，B在C北偏东45°方向上，A在C北偏西75°方向上，求AB的长． 【解答】 　　　　依题意知∠ACB＝120°，AC＝50 m，BC＝40 m，由余弦定理得AB＝＝＝10(m)，故AB的长为10 m． 探究 2 测量高度问题 　　　(课本P50例10补充)如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β．已知铁塔BC的高为h，求山高CD． 2 【解答】 　　　　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90° α，∠BAC＝α β，∠CAD＝β．根据正弦定理，得＝，即＝，所以AC＝＝．在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝．故山的高度为． (1) 在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． (2) 在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3) 山或塔垂直于地面或海平面的问题，可把空间问题转化为平面问题． 变式　某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β．该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值． 【解答】 　　　　由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解得H＝＝＝124．因此电视塔的高度是124 m． 探究 3 测量角度问题 　　　(课本P50例11补充)甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 3 【解答】 　　　　如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在 ... ...