微专题4　线线角、线面角、二面角的计算（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册 第八章

微专题4　线线角、线面角、二面角的计算 一、 单项选择题 1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线AD1与BD所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 2．在正三棱锥P ABC中，PA＝2，AB＝，则侧棱PA与底面ABC所成的角为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 3．如图，边长为2的两个等边三角形ABC，DBC，若点A到平面BCD的距离为，则二面角A BC D的大小为(　　) (第3题) A． B． C． D． 4．如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) (第4题) A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 二、 多项选择题 5．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　) (第5题) A．A1C1⊥BD B．B1C与BD所成的角为30° C．二面角A1 BC D的平面角为45° D．AC1与平面ABCD所成的角为45° 6．已知正三棱锥S ABC的底面边长为6，侧棱长为4，则下列说法正确的有(　　) A．侧棱SA与底面ABC所成的角为 B．侧面SAB与底面ABC所成的角的正切值为2 C．正三棱锥S ABC外接球的表面积为64π D．正三棱锥S ABC内切球的半径为－1 三、 填空题 7．在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝4，则直线PB与平面PAC所成的角为_____． 8．在单位正方体ABCD A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，BG＝DH＝BD，则平面A1DH与平面C1BG所成的二面角的余弦值为_____． 四、 解答题 9．如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD. (1) 求证：AC⊥平面PBD； (2) 若PD＝2，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P ABCD的体积. (第9题) 10．如图，在三棱台ABC A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面AB1C，BB1⊥AB1，AB＝4，AA1＝AB1＝2，∠BAC＝. (1) 求证：AC⊥平面ABB1A1； (2) 若直线BC与B1C1的距离为3，求平面ABB1A1与平面BCC1B1所成角的余弦值. (第10题) 微专题4　线线角、线面角、二面角的计算 1．C　【解析】 由题意，作正方体ABCD A1B1C1D1，如图所示，连接BC1，DC1.因为AD1∥BC1，所以∠DBC1即为异面直线AD1与BD所成的角.由题可得△DBC1为等边三角形，所以∠DBC1＝60°，所以异面直线AD1与BD所成的角为60°. (第1题) (第3题) 2．B　 3．A　【解析】 如图，设BC的中点为E，连接AE，DE，过点A作AF⊥ED，垂足为F.因为△ABC，△DBC均为等边三角形，所以AE⊥BC，DE⊥BC，故∠AED为二面角A BC D的平面角.又AE∩DE＝E，AE，DE 平面AED，所以BC⊥平面AED.又AF 平面AED，所以BC⊥AF.又AF⊥ED，DE∩BC＝E，DE，BC 平面BCD，所以AF⊥平面BCD，则点A到平面BCD的距离为AF＝.又△ABC为等边三角形，边长为2，所以AE＝2×sin＝.在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，则∠AEF＝，即∠AED＝，故二面角A BC D的大小为. 4．C　【解析】 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理，AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误. 5．AC　 6．BC　【解析】 如图，设△ABC的中心为O，连接SO，则SO⊥底面ABC.连接AO并延长，交BC于点E，取AB的中点F，连接SF，OF.易知∠SAO为侧棱SA与底面ABC所成的角，AO＝AE＝2，SA＝4，所以cos∠SAO＝＝，所以∠SAO＝，故A错误.侧面SAB与底面ABC所成的角为∠SFO，易得SO＝6，OF＝，则tan∠SFO＝＝2，故B正确.设外接球的球心为O1，半径为R，如图，则R＝＝，解得R＝4，所以正三棱锥S ABC外接球的表面积为4πR2＝64π，故C正确.易知VS ABC＝18，SF＝，设内切球的半径为r，则＝18，又S△SAB＝S△SAC＝S△SBC＝3，S△AB ... ...