12.2.1 复数的加法、减法与乘法 课件（15页） 2025-2026学年苏教版2019高中数学必修第二册

第十二章 复数 12.2.1 复数的加法、减法与乘法 1. 掌握复数加法、减法与乘法运算法则，并能解决简单问题； 2.理解共轭复数的概念，了解共轭复数积的特点. 我们规定，复数的加法法则如下： 设z1 = a + bi，z2 = c + d i (a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的和 注意：两个复数的和仍然是一个确定的复数. 复数的加法法则 z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 实部相加为实部 虚部相加为虚部 问题 1：复数的加法满足交换律、结合律吗？请给出证明. 设 z1 = a1 + b1i， z2 = a2 + b2i， z3 = a3 + b3i，其中a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R， ∵ z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i， z2 + z1 = (a2 + b2i) + (a1 + b1i) = (a2 + a1) + (b2 + b1)i， a1 + a2 = a2 + a1，b1 + b2 = b2 + b1， ∴ z1 + z2 = z2 + z1（交换律） ∵ (z1 + z2) + z3 = [(a1 + b1i) + (a2 + b2i)] + (a3 + b3i) = [(a1 + a2) + (b1 + b2)i] + (a3 + b3i) = (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)i， z1 + (z2 + z3) = (a1 + b1i) + [(a2 + b2i) + (a3 + b3i)] = (a1 + b1i) + [(a2 + a3) + (b2 + b3)i] = (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)i， ∴ (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)（结合律） 问题 1：复数的加法满足交换律、结合律吗？请给出证明. 对任意 z1，z2，z3 ∈ C，都有： （1）交换律：z1＋z2 ＝ z2＋z1. （2）结合律：(z1＋z2)＋z3 ＝ z1＋(z2＋z3)； 复数加法的运算律 问题 2：实数的减法是加法的逆运算.类比实数减法的意义，如何定义复数的减法？ 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c + di) + (x + yi) = a + bi 的复数 x + yi 叫做复数 a + bi 减去复数 c + di 的差，记作 (a + bi) - (c + di). 根据复数相等的定义，有 c + x = a，d + y = b，因此 x = a - c，y = b - d， 即 (a + bi) - (c + d i) = (a - c) + (b - d )i. 我们规定，复数的减法法则如下： 注意：两个复数的和仍然是一个确定的复数. 复数的减法法则 z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 实部相减为实部 虚部相减为虚部 解：(5－6i) + (－2－i)－ (3 + 4i) = (5－2－3) + (－6－1－4)i = －11i . 例1：计算 (5－6i) + (－2－i)－ (3 + 4i). 练一练 1：复数 (1－i)－(2＋i)＋3i 等于 ( ) A.－1＋i B.1－i C.i D.－i A 问题3：设 a，b，c，d ∈R，则 (a＋b)(c＋d) 怎样展开？ (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 思考：类比多项式的乘法运算，想一想两个复数如何进行乘法运算？ 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2， ∵i2＝－1，∴ z1·z2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 复数的乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 注意：在进行复数乘法运算时，实际上不直接使用乘法法则，而使用多项式乘法法则. 问题4：复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法满足分配律吗？ 对任意三个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi(a，b，c，d，e，f∈R)， 有z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i， z2·z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ca－db)＋(cb＋da)i， ∵ac－bd＝ca－db，ad＋bc＝cb＋da，∴z1·z2＝z2·z1(交换律). 同理(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)， z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(分配律). 复数乘法的交换律、结合律、分配律 对任意 z1，z2，z3 ∈C， 交换律：z1·z2＝z2·z1； 结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； 分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3. 解：(1) (2 + 3i)(2 - 3i) = 22 - (3i) = 4 - (- 9) = 13； 例 2：计算 (1) (2 + 3i)(2 - 3i)； (2) (a + bi)(a - bi). (2) (a + bi)(a - bi) = a2 - ab ... ...