12.2.2 复数的乘方与除法 课件（12页） 2025-2026学年苏教版2019高中数学必修第二册

(课件网) 第十二章 复数 12.2.2 复数的乘方与除法 1. 理解复数的乘方的概念，掌握复数正整数指数幂的运算性质； 2. 掌握复数的除法法则，并能熟练进行复数的乘除运算； 3. 掌握复数的运算性质，能解复数范围的方程. 根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对任何 z，z1，z2 ∈C 和 m，n∈N*，有 zm·zn ＝ zm＋n，(zm)n ＝ zmn，(z1·z2)n ＝ z1n·z2n. 对于复数 z，定义它的乘法 zn ＝ z·z·…·z. (即复数的乘方是相同复数的积) n个 在复数的乘方运算中，经常要计算 i 的乘方，i 的乘方有如下规律： i0 = 1，i1 = i，i2 = -1，i3 = -i，i4 = 1… 一般地，对任意自然数 n，有 i4n = 1，i4n＋1 = i，i4n＋2 = -1，i4n＋3 = -i. 例1：设 ，求证： （1）1 + ω + ω2 = 0； （2）ω3 = 1. 解：（1）∵ ， ∴ （2） 问题 1：类比实数的除法是乘法的逆运算. 复数的除法应该满足怎样的运算法则？ 我们把满足(c + di)(x + yi) = a + bi (c + di ≠ 0) 的复数 x + yi 叫做复数 a + bi 除以复数 c + di 的商，记作 (a+bi)÷(c+di) 或 利用(c + di)(c - di) = c2 + d 2. 于是将 的分母实数化得： 复数的除法法则： 两个复数相除 (除数不为 0)，所得的商是一个确定的复数 根式除法: 分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”. 复数除法: 分子分母都乘以分母的共轭复数，从而使得分母“实数化”. 类比 例2：计算 . 解法1：设 ， 则 (3 - 4i)(x + yi) = 2 - i， 即 (3x + 4y) + (3y - 4x)i = 2 - i， 所以 ， 解得 因此 解法2： 练一练：计算 (1 + 2i) ÷ (3 - 4i). 解： 进行复数除法运算的方法： ① 先把 (a+bi)÷(c+di) 写成 的形式； ② 把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di； ③ 再化简即可. 例3：在复数集 C 内解下列方程： （1）z2 + 4 = 0； （2）z2 - 10z + 40 = 0. 解：（1）设z = x + yi (x，y∈R)，则(x + yi)2 + 4 = 0，即(x2 - y2 + 4) + 2xyi = 0， （2）配方，得 (z - 5)2 = -15. 所以 ， 解得 或 ， 因此 z = 2i 或 z = -2i . 仿（1）得： 或 所以，得 或 探究：在复数集 C 内解方程：ax2 + bx + c = 0. 其中 a，b，c∈R，且 a ≠ 0. ( = b2 - 4ac < 0) 解： 将方程 ax2 + bx + c = 0 的二次项系数化为 1 得 配方，得 即 类似（1）可得： 由 < 0 知 所以原方程的根为 在复数集 C 内，实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式为： ① 当 ≥ 0 时， ； ② 当 < 0 时， 对于实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求解问题，当 < 0时，此时方程两根满足： ① 根与系数关系仍然成立，即 ② 两个根互为共轭复数. 知识框图： 复数的乘方 运算性质 定义 复数的除法 运算法则 定义 复数集 C 内解方程