(课件网) 第十二章 复数 12.3 复数的几何意义 1.理解复数的几何意义； 2.理解实轴、虚轴、复数模的概念，掌握用向量的模表示复数模的方法； 3.理解复数的加法、复数的减法的几何意义. 实数 (数) 思考2：类比实数的数轴表示，可以用什么来表示复数？ 思考1：在几何上，我们用什么来表示实数 一一对应 实数用数轴上的点来表示 数轴上的点 (形) 复数的几何意义：根据复数相等的定义，任何一个复数 z = a + bi 都可以由一个有序实数对 (a，b) 唯一确定. 复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系，因此可以用点表示复数. 复数 z = a + bi （数） 有序实数对 (a，b) 直角坐标系中的点 Z (a，b) （形） 一一对应 一一对应 一一对应 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数，原点 (0，0) 表示实数 0. 复平面内的纵坐标轴上的单位长度是 1，而不是 i. 复数 z = a + bi 可用点 Z (a，b) 表示，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b. Z (a，b) a b Z：a + bi 虚轴 实轴 问题1：由复平面的引入过程我们知道，每一个复数在复平面有唯一确定的点与它对应，反过来，复平面内的每一个点，是否有唯一确定的复数与之对应呢？ Z (a，b) a b Z：a + bi 0 点 (0 ，0) 对应 2 点 (2 ，0) 对应 -i 点 (0 ，-1) 对应 -2 + 3i 点 (-2 ，3) 对应 复数 z = a + bi 复平面内的点 Z (a，b) 一一对应 解：点 A (0，1) → zA = 0 + i → zA = i； 例1：指出图中复平面内各点所表示的复数 (每个小正方格的边长为1) . D A C B 点 B (3，2) → zB = 3 + 2i； 点 C (-2，0) → zC = -2； 点 D (1，-2) → zD = 1 - 2i. 问题 2：平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？ a b Z：a + bi 复数 z = a + bi 平面向量 一一对应 连接 OZ，向量 由点 Z 唯一确定； 反过来，点 Z 也可以由向量 唯一确定. 规定：相等向量表示同一个复数. 为方便起见，常把复数 z = a + bi 说成点 Z 或向量 a b Z：a + bi 向量 的模叫做复数 z = a + bi 的 模 或 绝对值，记作 |z| 或 |a + bi|. 即 ，其中 a，b∈R. 如果 b = 0，那么 z = a + bi 是一个实数 a，它的模就等于 |a| (a 的绝对值) . 例2：设复数 z1 = 4 + 3i，z2 = 4 - 3i. （1）在复平面内画出复数 z1，z2 对应的点和向量； （2）求复数 z1，z2 的模，并比较它们的模的大小. 解：（1）复数 z1，z2 对应的点分别为 Z1，Z2， 对应向量分别为 x y O 1 -3 2 3 4 1 -2 2 3 -1 （2） 例3：设 z∈C，在复平面内 z 对应的点为 Z ，那么满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形. (1) |z| = 1 ； (2) 1 < |z| < 2. 解：（1）由 |z| = 1得，向量 的模等于 1， 所以满足条件 |z| = 1 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 1 为半径的圆. (2）不等式 1 < |z| < 2 可化为不等式 不等式 |z| < 2 的解集是圆 |z| = 2 的内部所有点组成的集合，不等式 1 < |z| 的解集是圆 |z| = 1 的外部所有点组成的集合，两个集合的交集就是不等式组的解集. 即以原点为圆心，1为半径和2为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界. 例3：设 z∈C，在复平面内 z 对应的点为 Z ，那么满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形. (2) 1 < |z| < 2. 问题3：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应. 由向量加法的几何意义出发如何得出复数加法的几何意义？ 复数的加法可以按照向量的加法来进行. （复数加法的几何意义） 设 分别与复数 a + bi，c + di 对应， 则 Z Z1 (a，b) Z2 (c，d) 问题 4：类比复数加法的几何意义，说出复数减法的几何意义？ x O y Z1 (a，b) Z2 (c，d) ... ...
