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课件网) 第四章 三角形 微专题3 三角形的相关线段综合 三角形三边关系的应用 1． 如图，AC和BD相交于点O，试说明AC＋BD＞AB＋CD. 解：因为AO＋BO＞AB，DO＋CO＞CD， 所以AO＋BO＋DO＋CO＞AB＋CD， 即AC＋BD＞AB＋CD. 2． 如图，已知P是△ABC内一点，试说明PA＋PB＋PC＞ (AB＋BC＋AC). 解：在△ABP中，PA＋PB＞AB①. 同理，可得PB＋PC＞BC②，PA＋PC＞AC③. ①＋②＋③，得2(PA＋PB＋PC)＞AB＋BC＋AC. 所以PA＋PB＋PC＞ (AB＋BC＋AC). 三角形中线在面积问题中的应用 3． 如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线.若S△DEF＝2，则S△ABC等于( A ) A． 16 B． 14 C． 12 D． 10 A 4． 如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接BE，CE. 若△ABC的面积是8，则图中阴影部分的面积为( A ) A． 4 B． 5 C． 5.5 D． 6 A 5． 如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是( C ) A． 4 B． 6 C． 8 D． 16 C 6． 如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点.若阴影部分的面积为3，则△ABC的面积是( D ) A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 D 7． 如图，△ABC的面积为1，分别倍长(延长一倍)AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2……按此规律，倍长2 025次后得到的△A2 025B2 025C2 025的面积为 . 72 025 三角形高的应用 8． 如图，△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，CH是AB边上的高线.试说明PD＋PE＝CH. 解：如图，连接AP. 因为S△ABP＋S△ACP＝S△ABC， 所以 ＋ ＝ . 因为AB＝AC， 所以PD＋PE＝CH. 拓展提问：在上述条件下，如图，点P是等边△ABC内任意一点，PF⊥BC于点F，则PD，PE，PF，CH之间的数量关系为 . PD ＋PE＋PF＝CH 9． 等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.如图，在△ABC中，∠C＝90°(∠A＜∠ABC)，点D，P分别在边AB，AC上，且BP＝AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为E，F. 若BC＝10，求DE＋DF的值. 解：因为S△ABP＝ AP·BC，S△ADP＝ AP·DF， S△BDP＝ BP·DE，S△BDP＋S△ADP＝S△ABP， 所以 BP·DE＋ AP·DF＝ AP·BC. 又因为BP＝AP，所以 AP·DE＋ AP·DF＝ AP·BC. 所以DE＋DF＝BC＝10. 三角形角平分线的应用 10． 如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线. (1)若∠A＝50°，求∠BOC的度数. 解：因为∠A＝50°， 所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°. 因为BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线， 所以∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB. 所以∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝65°. 所以∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－65°＝115°. (2)在其他条件不变的情况下，若∠A＝n°，则∠BOC的度数为多少(用含n的式子表示)？ 解：由(1)，得∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－ (∠ABC＋∠ACB) ＝180°－ (180°－∠A) ＝90°＋ ∠A ＝(90＋ )°. 11． 如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线. (1)当∠B＝30°，∠C＝50°时，求∠DAE的度数； 解：因为∠B＝30°，∠C＝50°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°. 因为AE是△ABC的角平分线， 所以∠CAE＝ ∠BAC＝50°. 因为AD是△ABC的高，∠C＝50°， 所以∠CAD＝90°－∠C＝90°－50°＝40°. 所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝50°－40°＝10°. (2)猜想：∠DAE与∠B，∠C有什么关系，并说明理由. 解：∠DAE＝ (∠C－∠B)，理由如下： 由(1)，得∠CAE＝ ∠BAC＝ (180°－∠B－∠C)， ∠CAD＝90°－∠C， 所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝ (180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝ (∠C－∠B).(
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