(
课件网) 第五章 5.3 等比数列 5.3.2 等比数列的前n项和 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 3.掌握等比数列前n项和的函数特征. 学习目标 相传国际象棋起源于古印度,是西萨发明的.国王要奖励西萨, 西萨说:“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”你知道西萨要多少粒小麦吗 国王能满足西萨的要求吗 通过这节课的学习,你就能知道答案了. 引入 课时精练 一、等比数列前n项和公式的推导 二、等比数列中与前n项和有关的基本运算 三、等比数列前n项和的函数特征 课堂达标 内容索引 等比数列前n项和公式的推导 一 探究1 (链接教材P38尝试与发现)如图所示,如果一个人得到某个信息之后,就将这个信息传递给3个不同的好友(称为第1轮传播),每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传播)……依次下去,假设传的过程中都是传给不同的人,则每一轮传播,信息传播的人数构成了一个等比数列: 1,3,9,27,81, … 如果信息按照上述方式共传播了19轮,那么知晓这个信息的人共有多少 知识梳理 温馨提示 (1)(链接教材P39例1)在等比数列{an}中,a1=4,a4=32,则数列{an}的前10项的和为 A.211-2 B.212-2 C.211-4 D.212-4 例1 √ 设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,即32=4q3,解得q=2, (2)(链接教材P39例2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,a5=81,则S5= . 121 求等比数列前n项和,要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比,应特别注意q=1是否成立. 思维升华 训练1 √ 设等比数列{an}的公比为q, 17 等比数列中与前n项和有关的基本运算 二 (链接教材P43习题5-3BT1)在等比数列{an}中. (1)S2=30,S3=155,求Sn; 例2 (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求公比q. 因为a2an-1=a1an=128, 思维升华 解决等比数列问题常用的思想方法 (1)方程思想:等比数列中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现. (2)分类讨论思想:由等比数列前n项和公式、an与Sn的关系等知识可知,解答等比数列问题时常常要用到分类讨论思想. 特别注意:等比数列前n项和的计算,要优先讨论公比q=1的情况. 训练2 (2)已知S4=1,S8=17,求an. 若q=1,则S8=2S4,不符合题意, 等比数列前n项和的函数特征 三 知识梳理 A(qn-1) 等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. 温馨提示 (链接教材P40例3)数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是不是等比数列. 例3 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1. 法一 由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,故{an}不是等比数列. 法二 由等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,-2≠-1,故{an}不是等比数列. 思维升华 已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; 训练3 由题意得a1=S1=1+λa1, 【课堂达标】 1.已知各项均为正数的数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若S3=7a3,且a2与a4的等差中项为5,则S5= A.29 B.31 C.33 D.35 √ 设等比数列{an}的公比为q(q>0), 由S3=7a3,得a1+a2+a3=7a3, 所以6a3-(a1+a2)=0,即6q2-q-1=0, 2.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn等于 √ 当x=1时,Sn=n; 由题意设数列{an}的首项为a1, 32 【课时精练】 √ 1.已知Sn为数列{an}的前n项和,若S2=6,an+1=2an,则S100= A.252-4 B.252-2 C.2100-2 D.2101-2 因为an+1=2an, √ 2.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6= A.7 B.8 C.9 D.10 ... ...
