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课件网) 第2讲 基本不等式 数 学 目标导航 建网络 教材核心知识 课标要求 基本不等式 基本不等式(a,b≥0) 基本不等式 结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 知能构建 强技能 实战演练 明方向 考向1 基本不等式直接应用 典例2设x,y满足x+y=10,且x,y都是正数,则xy的最大值为( ) A.5 B.10 C.25 D.50 C 解析 因为x,y满足x+y=10,且x,y都是正数,所以xy≤=25,当且仅当x=y=5时等号成立,所以xy的最大值为25.故选C. 考向2 基本不等式求函数最值 典例3(2024浙江高二期末)已知a>0,b>0,且=1,则的最小值为( ) A.2 B.2 C. D.1+ A 解析 因为a>0,b>0,且=1,所以=1-,所以a=>0,所以b>2, 所以a-1=-1=>0, 所以>0, 所以=(b-2)+≥2=2, 当且仅当b-2=,即b=3时,等号成立,所以的最小值为2.故选A. AD 典例5 如图(俯视图),学校决定投资12 000元在操场建一长方体形体育器材仓库,利用围墙靠墙建,由于要求器材仓库高度恒定,不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元(不计高度,按长度计算),顶部材料每平方米造价300元.在预算允许的范围内,仓库占地面积最大能达到多少平方米 归纳总结利用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数式转化为基本不等式的模型,特别要注意“正”“定”“等”三个条件同时成立:“正”是指各项必须为正值;“定”是指利用基本不等式放缩后最后出现的是不含未知数的定常数;“等”是指不等式在放缩过程中,每一步的等号都能取到. 考向3 条件型不等式问题 B ABC 归纳总结二元条件型基本不等式问题的解法取决于条件的使用方式,常见方法:一是消元代入,转化成一元函数问题;二是条件式直接变形,如典例7选项A的判断;三是条件“逆代”,如典例6利用+y=1构造(2x+)(+y),典例7选项B的判断,四是如典例7选项D的判断,作变形,(a+1)(2b+1)=(2a+2)(2b+1),创设使用基本不等式的条件. 考向4 利用基本不等式比较大小 典例8设b>a>0,且a+b=1,则下列四个数中最大的是( ) A. B.a2+b2 C.2ab D.a B 归纳总结多数比较问题是常见的题型,应用基本不等式作比较的多是二元函数式,基本工具是基本不等式链,设a>0,b>0,则有,其中等号成立的条件是a=b. 考向5 基本不等式使用技巧:“凑”与“配” D D 归纳总结典例9(1)(2)尽管可以利用条件代入消元,转化为一元函数求最值,但过程较繁.这里采用巧妙的“凑”“配”技巧,典例9(1)抓住条件式中x(x+2y)=1,把要求的式子凑成2x+y=(4x+2y),再依据条件式分拆,典例9(2)对条件式进行因式分解,依据所得结果对目标函数进行“凑”“配”,达到了简化解题的效果.课时作业2 基本不等式 基础巩固 1.(2025浙江7月学考)已知x>0,则+x的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知0
0,y>0”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知a,b为实数,则下列不等式恒成立的是( ) A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2ab C.a+b≥2 D.a+b≤-2 5.若正数a,b满足a+b=ab,则a+4b的最小值是( ) A.7 B.9 C.13 D.25 6.已知第一象限内的点P(a,b)在一次函数y=-8x+5的图象上,则的最小值为( ) A.25 B.5 C.4 D. 7.(多选)(2024浙江宁波北仑中学检测)若正实数x,y满足2x+y=1,则下列说法正确的是( ) A.xy有最大值为 B.有最小值为6+4 C.4x2+y2有最小值为 D.x(y+1)有最大值为 8.(2024浙江杭州月考)若实数x,y满足x>y>0且log2x+log2y=1,则的最小值为 . 9.对任意的正数x,不等式ax≤x2+4恒成立,则实数a的最大值为 . 10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0. 求:(1)xy的最小值; (2)x+y的最小值. 11.(1)当x>0时,求函数y=的最小值; (2)当x<1时,求函数y=的 ... ... 