数 学 考生注意: 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4. 本卷命题范围:高考范围。 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合 ,则 A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 ,则 A. B. 2 C. D. 10 3. 已知向量 ，且 ，则 的值为 A. -2 B. 2 C. -8 D. 8 4. 函数 的图象的一个对称中心可以为 A. B. C. D. 5. 二项式 的展开式中常数项为 A. 10 B. -10 C. 5 D. -5 6. 已知椭圆 的两焦点分别为 是 上任意一点,则 的最大值 A. 只与 有关 B. 只与 有关 C. 与 和 都有关 D. 与 都无关 7. 已知 ,则 A. B. C. D. 8. 已知点 ,若直线 上存在点 满足 ,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 下列说法正确的是 A. 直线 的倾斜角为 B. 直线 经过第一、二、三象限 C. 直线 与直线 之间的距离是 D. 过点 且在 轴, 轴上的截距相等的直线方程为 10. 下列函数中最小值为 4 的是 A. B. C. D. 11. 如图，正四棱锥 与正四棱锥 的底面重合，且 ， 为棱 上一点,则 A. 平面 B. 正四棱锥 的体积为 C. 的最小值为 D. 点 到平面 的距离为 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. 某平台统计了“十一”期间在一款 App 上的购买电影票情况: 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 购票数量(单位:万张) 2.5 4.0 5.5 7.8 6.5 4.8 2.1 1.9 则“十一”期间 App 上的购票数据的 60% 分位数为_____. 13. 在 中， ，其面积为 ，则 _____. 14. 已知函数 满足 ，若函数 与 的图象有 6 个交点,交点横坐标为 ,则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 13 分) 已知等差数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)若 ，求 的前 项和 . 16.(本小题满分 15 分) 如图，在直四棱柱 中，底面 是正方形， 分别是 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 17. (本小题满分 15 分) 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下列联表: 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1 000 200 1 200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值 的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在 800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 名患者中随机抽取 4 人，设 表示 4 名患者中效果不明显的人数，求 的分布列和数学期望. 附: . 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18. (本小题满分 17 分) 设函数 . (1)若曲线 在点 处的切线经过点 ，求实数 的值； (2)讨论 的单调性； (3)若存在正实数 ，使得对 ，都有 ，求 的取值范围. 19. (本小题满分 17 分) 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， . (1)求 的方程； (2)设 ，直线 过焦点 ，与 交于 ， 两点，直线 ， 分别交 于另两点 ， . ①求 的面积的最小值； ②试判断直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 参考答案、提示及评分细则 1. A 由 得, . 故选 A. 2. C 因为 ,所以 ,所以 . 故选 C. 3. A ... ...
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