高二下学期 3 月月考 数学试卷 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合 题目要求 1. 已知直线 与 平行，则 () A、 0 B. -1 C. 1 D. ±1 2. 已知数列 中， 则 ( ) A. 1 B. C. -1 D. -2 3. 函数 的图象与直线 恰有两个公共点，则 ( ) A、 -1 或 0 B. -1或1 C. -2或0 D. -2或2 4. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则数列 的前 2024 项和为( ) A B. C. D. 5. 学校要求学生从物理、化学、生物、历史、地理、政治这 6 科中选 3 科组合学习, 要求物理历 史两科中必须选且只能选择其中一科，则选科方式共有 ( ) 种. A. 24 B. 20 C. 12 D. 6 6. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 在该椭圆上，若满足 为直角三角形的点 共有 8 个，则该椭圆离心率的取值范围是( ) A. . 8. C. D: 7. 若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 8. 已知 是椭圆 的左焦点,经过坐标原点的直线与 交于 两点,若 , 则 A. B. C. D. 二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求. 9. 已知 ，则下列不等式正确的有 ) A. B. C. D. 10. 已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点， 为坐标原点，则( ) A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 则 D. 若 ，则 面积最小值为 11. 已知函数 ,则下列结论正确的是 ( ) A. B. 若方程 有两个不相等的实数根,则 C. 存在 ,使 D. 若不等式 恒成立,则 三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城 2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》 四部电影中任选一部, 则不同的选法有_____种. 13. 若 在 上不单调，则实数 的取值范围是_____. 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在 上, ，直线 是 的内角平分线， ， . 则双曲线 的离心率 _____. 四、解答题:(本大题共 5 大题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (本题 13 分) 已知函数 ，在 处的切线与直线 垂直. (1)求 的值；(2)求函数 的最大值. 16. (本题 15 分)如图所示，在长方体 中， ， ， ，点 在棱 点 在棱 ，且 。 (1)证明: ； (2)在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离与 到平面 的距离相等？若存在， 求出 的长; 若不存在,说明理由. 17. (本题 15 分) 已知数列 的前 项和为 ,且 . (1)求 的通项公式. (2)设: ，记数列 的前 项和为 . (i) 求 ; (ii) 若 对任意 恒成立,求 的取值范围. 18.(本题 17 分)在平面直角坐标系中，已知椭圆 的左、右顶点分别为 为椭圆 的右焦点， 为椭圆 上不同于 、 的动点，若 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)求 面积的最大值: (3)若 在 轴的上方，设直线 、 的斜率分别为 、 ，是否存在常数 ，使得 成立 若存在,请求出 的值; 若不存在,请说明理由. 19.(本题 17 分)函数 ，e为自然对数的底数. (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)当 时，证明函数 存在唯一的极值点: (3)若存在 ，使得 对任意 成立，求实数 的取值范围. 2024-2027 届高二下学期 3 月月考 (数学)参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D A C A C C ACD ACD ABD 12. 15.(1) ，依题意 ，所以 ； .5 分 (2) 定义域为 . 由 . 得到: 当 变化时, 和 的变化情况如下表: 2 + 0 - 单调递增 ln 2 – 1 单调递减 所以 在 时取得最大值,即最大值为 . .13 分 16.(1)证明:连接 交 于点 ， ， ，故 为菱形，故 ，由长方体得 平面 ，由 平面 ，知 ； 由 平面 平面 ,知 平面 ,由 平面 , 知 . .6 分 (2)假设存在点 满足条件，记 到平面 的距离 到平面 的距离 ， 则 ，知 ， ，故 ; 则 ,另一方面 ,故 ,综上所述,存在符合题意的 点, . .15 分 17. ( 1 )由 ... ...
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