专题突破练5 (分值:68分) 1.(17分)已知函数f(x)=cos x+xsin x,x∈(-π,π). (1)求f(x)的单调区间和极小值; (2)证明:当x∈[0,π)时,2f(x)≤ex+e-x. (1)解函数f(x)=cos x+xsin x,x∈(-π,π),求导得f'(x)=-sin x+sin x+xcos x=xcos x, 当-π
0,f(x)单调递增; 当-0,f(x)单调递增; 当0时,判别式Δ=a2-4, (ⅰ)当02时,令f'(x)>0,得,所以当a>2时,f(x)在区间()内单调递增,在区间(0,),(,+∞)内单调递减. 综上所述,当a≤2时,f(x)在(0,+∞)内单调递减, 当a>2时,在区间(0,),(,+∞)内单调递减, 在区间()内单调递增. (2)证明由(1)知a>2,0x1-x2,则ln x1-ln>x1-, 即ln x1+ln x1>x1-,即证2ln x1>x1-在(0,1)上恒成立. 设h(x)=2ln x-x+,0h(1),即2ln x-x+>0, 故2ln x>x-,则cos n; ②当ai=(i∈N*),ki=(i=1,2,…,n-1)时,ki>. (1)解g(x)≥f(x)在[0,+∞)内恒成立,理由如下: 令h(x)=g(x)-f(x)=-1+cos x,x∈[0,+∞), 则h'(x)=x-sin x,x∈[0,+∞),令q(x)=h'(x), 则q'(x)=1-cos x≥0在[0,+∞)内恒成立,故q(x)=h'(x)在[0,+∞)内单调递增, 其中h'(0)=0,故h'(x)≥0在[0,+∞)内恒成立, 故h(x)在[0,+∞)内单调递增, 故h(x)≥h(0)=0,即g(x)≥f(x)恒成立. (2)证明①00,故要证>cos n, 只需证(m-n)cos n+sin n-sin m>0. 令r(x)=(x-n)cos n-sin x+sin n,00, r'(x)=cos n-cos x,令p(x)=cos n-cos x, 则函数p(x)在(0,)内单调递增,所以当0r(n)=0,故r(m)>r(n)=0, 所以当0cos n. ②由(1)知,cos x>1-,x>0,f'(x)=sin x,由于0<, 所以ki=>cos>1-,所以ki>(1-)+(1-)+…+(1-)=n-1-(+…+)=n-1-=n-. 4.(17分)已知函数f(x)=aex+2x-1(其中常数e=2.718 28…是自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)证明:对任意的a≥1,当x>0时,f(x)≥(x+ae)x. (1)解由f(x)=aex+2x-1,得f'(x)=aex+2. ①当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增; ②当a<0时,由f'(x)>0,解得xln-,故f(x)在-∞,ln-内单调递增,在ln-,+∞内单调递减. 综上所述,当a≥0时,函数f(x)在R上单调递增;当a<0时,f(x)在-∞,ln-内单调递增,在ln-,+∞内单调递减. (2)证明f(x)≥(x+ae)x,其中a≥1,x>0 -e≥0. ... ... 
