专题突破练8 (分值:103分) 主干知识达标练 1.若tan()=,则tan α=( ) A. B. C.- D.- 答案A 解析因为tan()=, 所以tan(α+)=, tan α=tan(α+)=. 故选A. 2.已知cos α=,sincos β=,则cos 2β=( ) A. B. C.- D.- 答案A 解析因为cos α=,所以cos α=1-2sin2,sin=±, 又sincos β=,所以cos β=±, 所以cos 2β=2cos2β-1=2×-1=,故选A. 3.在某直角三角形中,一个锐角α的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用sec α表示;锐角α的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余割,用csc α表示,则csc 10°-sec 10°=( ) A.4 B.8 C. D.4 答案A 解析csc 10°-sec 10°==4.故选A. 4.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为( ) A.1 B. C.2 D.2 答案A 解析根据已知及正弦定理得sin B=2sin Asin B, 因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以1=2sin A,解得sin A=,所以S△ABC=bcsin A=×4×=1.故选A. 5.已知△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,∠BAC=,∠BAC的平分线交边BC于点D,若AD=,则b+2c的最小值为( ) A.2+2 B.4 C.3+2 D.3+2 答案C 解析如图,S△ABC=bcsin∠BAC=bc, 因为∠BAC的平分线交边BC于点D,且AD=, 所以∠BAD=∠CAD=,S△ABD=×AD×c×sin∠BAD=c,S△CAD=×AD×b×sin∠CAD=b,而S△ABC=S△ABD+S△CAD,所以bc=c+b, 化简得bc=c+b,即=1, 则b+2c=(b+2c)()=3+≥3+2=3+2, 当且仅当b=c=+1时,取等号,即b+2c的最小值为3+2.故选C. 6.(2025东北三省四市高三模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos(A-B)-cos(A+B)=,且ab=,则△ABC的外接圆的面积为( ) A. B.π C.2π D.4π 答案B 解析由cos(A-B)-cos(A+B)=,得cos Acos B+sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=,所以sin Asin B=.又因为ab=,结合正弦定理=2R(其中R为△ABC的外接圆的半径),所以ab=4R2sin Asin B=R2=,解得R2=1,则△ABC的外接圆的面积为πR2=π.故选B. 7.已知sin α=,α∈(,π),若=4,则tan(α+β)=( ) A.- B.- C. D. 答案C 解析因为sin α=,α∈(,π), 所以cos α=-=-,tan α==-. 因为=sin α+cos α·tan β=tan β=4, 所以tan β=-, 所以tan(α+β)=. 8.(5分)已知sin α-cos α=1,则sin(-2α)的值为 . 答案 解析已知sin α-cos α=1, 则2(sin α-cos α)=2sin(α-)=1, 所以sin(α-)=, 令β=α-,则α=β+,即sin β=, 所以sin(-2α)=sin(-2β-)=sin(-2β)=cos 2β=1-2sin2β=. 9.(5分)若函数f(x)=2sincos+Acos x(A>0)的最大值为,则A= ,f()= . 答案1 解析f(x)=2sincos+Acos x=sin x+Acos x=sin(x+φ), 由最大值为,A>0,则A=1, 所以f(x)=sin x+cos x=sin(x+),所以f()=sin()=sin. 10.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=1,则A= . 答案 解析在△ABC中,由=1及正弦定理得=1, 而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,则=1, 整理得sin Acos B-sin Bcos A+sin B=sin Acos B+sin Bcos A,即2sin Bcos A=sin B, 又sin B>0,因此cos A=,而0
