专题突破练9 (分值:52分) 1.(13分)(2025黑龙江齐齐哈尔二模)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知∠AOD=60°,AC=3,BD=6,且AD=BC. (1)求BO的长; (2)若7sin(2∠OCB-)=8cos∠ODA-15,求cos∠ODA的值. 解(1)设BO=m,CO=n, 所以OD=6-m,OA=3-n, 在△OBC中,BC2=m2+n2-2mncos 60°, 在△OAD中,AD2=(6-m)2+(3-n)2-2(6-m)(3-n)cos 60°, 因为BC=AD,解得m=3,所以BO的长为3. (2)由(1)知BO=DO=3,设∠OCB=α,∠OAD=β,∠ODA=θ, 在△OBC中,, 在△OAD中,, 所以sin α=sin β,所以α=β或α+β=π. 若α=β,则△OBC与△ODA全等,所以CO=AO=, 所以θ=,所以α=β=, 7sin(2α-)=8cos θ-15不成立,所以α+β=π, 所以sin(2α-)=sin[2(π-β)-]=sin[2(+θ)-]=sin(+2θ)=cos 2θ. 因为7cos 2θ=8cos θ-15, 所以7(2cos2θ-1)=8cos θ-15, 所以7cos2θ-4cos θ+4=0, 所以cos θ=, 所以cos∠ODA的值为. 2.(13分)(2025北京,16)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC边上的高. 条件①:a=6; 条件②:bsin C=; 条件③:S△ABC=10. 解(1)由cos A=-,得sin A=. ∵asin C=4,∴S△ABC=absin C=×4b=bcsin A, ∴4c,解得c=6. (2)若选①,a=6,则a=c.又cos A<0,∴A为钝角,故△ABC不存在. 若选②,bsin C=,如图,作AD垂直BC于点D,则BC边上的高AD=,此时sin B=,∴B∈(). 又cos A=-,∴A∈(),∴A+B∈(,π), ∴△ABC存在,此时BC边上的高AD=. 若选③,S△ABC=10.由(1)知S△ABC=×4b=10,解得b=5. 由余弦定理得,a==9,∴△ABC存在. 又S△ABC=·a·AD, ∴·a·AD=10,解得AD=. 3.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,△ABC的面积为S,若D为AC边上一点,满足AB⊥BD,BD=2,且a2=-S+abcos C. (1)求∠ABC; (2)求的取值范围. 解(1)∵a2=-S+abcos C, ∴a2=-absin C+abcos C, 即a=-bsin C+bcos C, 由正弦定理得,sin A=-sin∠ABCsin C+sin∠ABCcos C, ∴sin(∠ABC+C)=-sin∠ABCsin C+sin∠ABCcos C, ∴cos∠ABCsin C=-sin∠ABCsin C. ∵sin C≠0,∴tan∠ABC=-. 由0<∠ABC<π,得∠ABC=. (2)如图,由(1)知,∠ABC=, 因为AB⊥BD,所以∠ABD=,∠DBC=. 在△BCD中,由正弦定理得,即DC=, 在Rt△ABD中,AD=, ∴=sin A+sin C. ∵∠ABC=,∴A+C=, ∴=sin A+sin C=sin(-C)+sin C=sin·cos C-cossin C+sin C=sin(C+). ∵0
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