《高考快车道》专题突破练11（课后习题）（教师版）高三 二轮专题复习讲义 数学

专题突破练11 (分值:91分) 主干知识达标练 1.(15分)已知数列{an}是正项等比数列,其前n项和为Sn,且a2a4=16,S5=S3+24. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an+log2an}的前n项和为Tn,求满足Tn<2 024的最大整数n. 解(1)设{an}的公比为q(q>0),则an=a1qn-1, 依题意可得 整理得q2+q-6=0, 解得q=2或q=-3(舍去), 所以an=a3qn-3=2n-1. (2)由(1)可知an+log2an=2n-1+n-1, 故Tn=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)=2n-1+, 显然,Tn随着n的增大而增大, T10=210-1+45=1 068<2 024,T11=211-1+55=2 102>2 024, 所以满足Tn<2 024的最大整数n=10. 2.(10分)(2022新高考Ⅰ,17)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:+…+<2. (1)解(方法一)∵是以=1为首项,以为公差的等差数列, ∴=1+(n-1)×. ∴Sn=an. ① 当n≥2时,Sn-1=an-1. ② ①-②得an=Sn-Sn-1=an-an-1,∴an-1=an, ∴. ∴an=·…··a1=×…×·a1(n≥2), 又a1=1, ∴an=×1=(n≥2). 又当n=1时,a1=1也符合上式, ∴an=. (方法二)∵是以=1为首项,以为公差的等差数列,∴=1+(n-1)×.∴Sn=an. ① 当n≥2时,Sn-1=an-1. ② ①-②得an=Sn-Sn-1=an-an-1, ∴an-1=an,∴, ∴. 设=bn,则bn=bn-1, ∴{bn}为常数列,且b1=, ∴=bn=,∴an=. (方法三)∵{}是首项为=1,公差为的等差数列, ∴=1+(n-1)=, ∴(n≥2), ∴(n≥2), ∴Sn=S1··…··…·(n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=(n≥2), 又a1=1满足此公式, ∴{an}的通项公式为an=. (2)证明由(1)知,=2, ∴+…+=2(1-+…+)=2(1-)<2. 3.(15分)已知数列{an}是等差数列,a1=3,d≠0,且a1,a7,a25构成等比数列. (1)求an; (2)设f(n)=an,若存在数列{bn}满足b1=1,b2=7,b3=25,且数列{f(bn)}为等比数列,求{anbn}的前n项和Sn. 解(1)∵{an}是等差数列,a1=3,d≠0, ∴a7=a1+6d,a25=a1+24d. ∵a1,a7,a25构成等比数列, ∴=a1(a1+24d), 化简可得a1=3d=3, ∴d=1,∴an=n+2. (2)∵f(b1)=f(1)=a1=3,f(b2)=f(7)=a7=9,f(b3)=f(25)=a25=27, 又数列{f(bn)}为等比数列, ∴首项为3,公比为3,故f(bn)=3n, 而f(bn)==bn+2, ∴3n=bn+2,∴bn=3n-2, ∴anbn=(n+2)3n-2(n+2), 设数列{(n+2)3n}的前n项和为Tn, 则Tn=(1+2)×31+(2+2)×32+…+(n+2)×3n①, 3Tn=(1+2)×32+(2+2)×33+…+(n+2)×3n+1②, ①②相减得-2Tn=(1+2)×31+32+…+3n-(n+2)×3n+1, 化简可得Tn=-[9+-(n+2)×3n+1]=. 又因为等差数列{2(n+2)}的前n项和为=n2+5n, 综上可得Sn=-(n2+5n). 关键能力提升练 4.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足6Sn=(3n+2)an+2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列{bn}的前100项和T100. 解(1)因为6Sn=(3n+2)an+2,当n=1时,6S1=6a1=5a1+2,所以a1=2, 当n≥2时,6Sn-1=(3n-1)an-1+2, 所以6Sn-6Sn-1=6an=(3n+2)an-(3n-1)an-1,所以,…,, 累乘得·…·×…×,所以an=3n-1(n≥2),当n=1时a1=2也符合上式,所以an=3n-1. (2)由(1)得bn==(-1)n+1(), 所以T100=+…+. 5.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的n∈N*,都有点P(an,Sn)在直线2x-3y+1=0上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列{an}的前n项中的最大值为Mn,最小值为mn,令bn=,求数列{bn}的前20项和T20. 解(1)根据题意得,对于任意的n∈N*都有3Sn=2an+1,当n≥2时,3Sn-1=2an-1+1,两式相减得3(Sn-Sn-1)=(2an+1)-(2an-1+1),即3an=2an-2an-1(n≥2),整理得an=-2an-1(n≥2), 当n=1时,3S1=2a1+1,故a1=1,所以数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列, 所以an=(-2)n-1. (2)当n为奇数时,an=2n-1,且an>0,当n为偶数时,an=-2n-1,且an<0, 因此当n为大于1的奇数时,{an}前n项中的最大值为an=(-2)n-1, 最小值为an-1=(-2)n-2,此时bn=, 当n为偶数时,{an}的前n项中的最大值为an-1=(-2)n-2, 最小值为an=(-2)n-1,此时bn=, 当n=1时,b1=a1,因此T20=b1+(b3+b5+…+b19) ... ...