计算题专项练(二) 1.如图所示,光源S位于装有某液体的容器底部A点处,容器右侧的内壁固定一平面镜,平面镜上端与容器顶端平齐、下端与液面平齐。光源S沿AO方向发射一束红光,经O点折射后照到平面镜上的P点,反射光线刚好过容器左侧上端点Q。已知入射角θ=37°,容器宽度MQ为80 cm,反射点P到平面镜上端点M、下端点N的距离分别为60 cm、30 cm,液体深度为40 cm,光在真空中的传播速度c=3.0×108 m/s,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求: (1)这束红光在该液体中的折射率n; (2)这束红光在液体中的传播时间。 答案 (1) (2)2.2×10-9 s 解析 (1)根据几何关系可知,该束红光在P点发生的反射,入射角α符合 tan α= 则α=37° 则这束红光从液体中射出时的折射角 β=90°-37°=53° 根据折射定律可知 n=。 (2)设液体深度为h=40 cm,则这束红光在液体中的传播距离s= 传播速度v= 则传播时间 t==2.2×10-9 s。 2.(2025台州市高三双基测试)如图甲所示的小区儿童滑梯可简化为图乙所示的模型。滑梯下滑区AB长为L=3 m,倾角α=30°。一个质量m=30 kg的儿童从滑梯顶部A点由静止滑下,最后停在水平缓冲区BC上。若儿童与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=,AB、BC间用一小段光滑圆弧连接,重力加速度g取10 m/s2。求: (1)儿童经过AB部分时加速度的大小; (2)儿童经过AB和BC部分所用的总时间t;(结果可用根式表示) (3)整个过程中儿童克服摩擦阻力所做的功Wf。 答案 (1)2 m/s2 (2)(1+) s (3)450 J 解析 (1)儿童经过AB部分时由牛顿第二定律有 mgsin α-μmgcos α=ma1 解得a1=2 m/s2。 (2)设儿童在B点的速度为v,儿童经过AB部分时有v2=2a1L 解得v=2 m/s v=a1t1 解得t1= s 儿童经过BC部分时有 μmg=ma2 解得a2=2 m/s2 v=a2t2 解得t2=1 s 所以总时间t=t1+t2=(1+) s。 (3)整个过程对儿童由动能定理有 mgLsin α-Wf=0 解得Wf=450 J。 3.如图甲所示,三维坐标系O-xyz所在的空间中,有平行于y轴且沿其正方向的匀强电场,电场强度的大小E1=。一带正电的粒子从A点由静止开始经加速电场加速后,沿xOy平面从x轴上的P(L,0,0)点进入匀强电场,经过P点时速度的大小为v0、方向平行于xOy平面且与x轴负方向的夹角α=53°。当粒子运动一段时间Δt=到达Q(未画出)点时,匀强电场的方向突然变为z轴正方向,以此刻为计时起点,此后电场强度的大小E2随时间t的变化关系如图乙所示,同时加上沿z轴正方向、磁感应强度大小为B=的匀强磁场。已知带电粒子的质量为m,电荷量为q,粒子的重力忽略不计,求: (1)A、P两点间的电压UAP; (2)Q点的位置及带电粒子到达Q点时的速度; (3)t=时带电粒子的位置坐标。 答案 (1) (2)v0,速度方向跟x轴负方向的夹角为45°且与y轴正方向夹角为45° (3) 解析 (1)在加速电场中,对带电粒子由动能定理得 qUAP=-0 解得UAP=。 (2)对带电粒子,在从P点到Q点的运动过程中,根据牛顿第二定律得 qE1=ma 粒子在xOy平面内的运动为类斜抛运动,轨迹如图所示 设粒子到达Q点时的速度大小为v,跟x轴负方向的夹角为θ,根据运动的合成与分解,粒子在Q点满足 x=-v0cos α·Δt+L=- y=-v0sin α·Δt+a(Δt)2=- vx=-v0cos α=-v0 vy=-v0sin α+aΔt=v0 则有OQ=L tan θ==1 可知粒子到达Q点时的速度方向跟x轴负方向的夹角为45°且与y轴正方向夹角为45°,大小为v=v0。 (3)根据第(2)问计算结果可知,带电粒子到达Q点时的速度与OQ连线垂直,电场变化后粒子的运动可以看成在xOy平面内的匀速圆周运动与沿z轴方向的变速直线运动的合成,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m 解得R=L R与OQ的长度相等,即O点为粒子轨迹的圆心,设粒子运动的周期为T,则有 T= 由于t==4T+T 可知该时刻粒子位置的x、y坐标值均为 在z轴方向,设加速度大小为az,根据牛顿第二定律得qE2=maz 该方向的坐标值为 z=az×5+az· 则当t=时带电粒子的位置坐标为。 4 ... ...
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