目录 专家引领 运算也是推理 马 复 符号运算也是一种推理过程．那么，有时通过符号运算，我们还能够揭示出存在于具体问题中的数学规律． 如下面的问题： 老王开车从A到D，全程共72 千米．其中AB段为平地（见右图），车速是30千米/时；BC段为上山路，车速是22．5千米/时，CD段为下山路；车速是36千米/时.已知下山路是上山路的2倍，老王开车从A到D共需要多少时间？ 分析：因AB段路程与BC，CD段路程没有确定的关系，似乎缺少一个条件，可解吗？ 第一步：选择几个特殊值（AB长）试一试，观察结果的特点. 结果竟然是确定的———都是2.4！ 猜想：结果与AB段路程长短无关？需要确认. 解：设立字母表示问题中的有关量：AB=x，BC=d，CD=2d. 列式求解：总时间为 T=++，而且 x+d+2d=72. 代入后：T= +=2.4. 结论与x，d的值无关. 进一步的思考： 其中的已知量不可以改变吗？有没有更一般的结论？ 按照上述题目中的已知，可以这样做： 设平路行驶速度为5v，那么上山、下山的速度就分别是v，6 v，而AD=12v. 代入后：T=++，而且x+d+2d=12v，解得T=2.4. 一般性结论：老王开车从A到D，全程共12a千米.其中AB段为平地，车速是5a千米/时；从BC段为上山路，车速是a千米/时；CD段为下山路，车速是6a千米/时. 已知下山路是上山路的2倍，那么，老王开车从A到D需要2.4小时. 其中，a=6就是原题，换其他的a值可以得到其它的题. 用字母表示未知量，对未知量进行运算，并且观察运算过程，可以发现一般性结论.解题过程中还蕴含对相关数学关系的领悟. 思考 求解过程表明：结论之所以与x，d的值无关，是因为x，d在运算过程中被消去了.换言之，在现有的已知条件下，取任何的x，d值，结论都相同.那么，什么是决定该问题结论的实质性条件？不可能只能是30，60，22.5，72这样的特定数值！但也不是换任意的数值都行.满足什么条件的数值可以呢？ 从上面的结论中可以看到：既然a可以取任意正值，那么，从理论上来看，2.4这个唯一结论的适合范围就太大了———AD可以是任意长路程，只要它与速度满足那个关系式！ 2.4又是从哪里来的呢？它很神秘吗? 显然不是的.只要将全程路长改一下就可以了，事实上：T=. 进一步：那么，这个问题解的原理究竟是什么？ 事实上，我们知道，对一个匀速运动过程而言，当我们知道一段路程的全长，以及行驶过程中的速度时，行驶时间就是确定的.而对于一个变速运动过程而言，在知道路程长度的情况下，只有知道平均速度，才能够确定行驶时间.所以，只要车辆在BC段和CD段的平均速度与AB段的速度相同，那么就一定有类似的结论. 例如：若BC段和CD段的路程仍然是1:2，取BC段速度为v，AB段速度为v，CD段速度为3v，AD全长为mv，就可以得到其他结果. 进一步，还可以做变化：BC段和CD段的路程不是1:2，改为其他，则又能够得到另外的结论，只不过没有实质性新意了. 在后续的代数学习，如解方程、解不等式、确定函数表达式以及函数最值等问题中，都需要对关系式进行适当的恒等变形，因此，符号运算成为后续数学学习（特别是代数学习）的一个基本技能，符号运算是后续问题解决的基础． 专家解读 专题二《函数的教学》研修要点 省课程专家 颜 峰 禇爱华 云 鹏 函数是初中代数的一个核心学习内容。在《课程标准》中，它实际上贯穿在整个义务教育的课程内容之中。 一次函数的学习不能仅仅着眼于解决几道题目，而应不断加深对函数思想的领会，你是这么认识的吗? 在反比例函数的学习过程中，学生较为常见的困难有哪些？怎样处理？ 一次函数与反比例函数和二次函数明显不同的是什么? 二次函数是研究某些单变量最优化问题的常用数学模型，你同意这个观点吗? 教师如何进行函数型应用题的教学？视频中推荐的做法有效吗？ 许多问题表面上看起来不是数学问题，只有去 ... ...
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