本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 课题： 球的体积和表面积 教学目标： 1.熟记球的体积公式和表面积公式； 2.会用球的体积公式和表面积公式解决有关问题 教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用 教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用 教学过程： 1、创设情景，引入新课： 提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。 设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。 二、探究新知： 1．探究球的体积公式 回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。 构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页) 2. 探究球的表面积公式： 设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积: 以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高，因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:21世纪教育网 ， 又∵，且[21世纪教育网] ∴可得，21世纪教育网 又∵，∴， ∴即为球的表面积公式 三、例题示范,巩固新知： 例1已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积 解：设截面圆心为，连结，设球半径为，21世纪教育网 则， 在中，， ∴，∴， ∴． 例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积 解：作轴截面如图所示， ，， 设球半径为， 则 ∴， ∴，． 例3．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积 解：设球半径为，正四棱柱底面边长为， 则作轴截面如图，，， 又∵，∴， ∴，∴， ∴． 例4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的； (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。 四、练习反馈,理解加深： 补充练习： 1．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 2.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍； 3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 4.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ． 答案： 1. 3 2. 7 3. 6 4. ， 5?球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．21世纪教育网 分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可． 解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为、， ∴ 三个球的表面积之比是． 5、小结归纳 ： 球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法———极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握． 6、作业布置： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www. 球的体积公式： 证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R. 因为 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 所以, (2) 因为 ,, 所以,. 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网 ... ...
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