高中新课标数学选修（1-2）3.1~3.2教材解读 一、数系的扩充和复数的概念 1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．[21世纪教育网 我们知道，方程在实数范围内无解，于是需引入新数i使方程有解，显然，需要．21世纪教育网 数系的扩充过程：自然数集整数集有理数集实数集复数集． 2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如的数叫做复数，并且把的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数的虚部是，而不是． 3．复数相等的充要条件 且 注意事项： （1）复数 （2）复数集21世纪教育网 （3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义 1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是： 复数集与坐标系中的点集，可以建立一一对应． 2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是１，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数复平面内的点． 3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有： 复数平面向量． 在这些意义下，我们就可以把复数说成点或向量，这给研究复数运算的几何意义带来了方便． 4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数的模为． 三、复数代数形式的四则运算 1．复数的加法、减法 ①运算法则． 其运算法则类似于多项式的合并同类项 ②复数加法的运算律 对于任意的，有： 交换律：． 结合律：． ③复数加法的几何意义 设，分别与复数，对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有（如图1）． 由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应． 可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行． 21世纪教育网 ④复数减法的几何意义 设，分别与复数，对应（如图2）， 根据向量加法的三角形法则有：． 于是：． 由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应． 于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应． 2．复数代数形式的乘法运算 ①运算法则：． 两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把换为，并且把实部与虚部分别合并即可． ②运算律：交换律：． 结合律：． 分配律：． ③虚数i的乘方及其规律：，，，，，，，，． 可见，，，，，即具有周期性且最小正周期为4． ④共轭复数 与互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 它的几何意义是：共轭的两个复数关于x轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算. 3．复数代数形式的除法运算 运算法则：．[来源:21世纪教育网] 其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”． ... ...
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