【苏教版选修1-1教案】3.4 导数在实际生活中的应用1

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 3.4 导数在实际生活中的应用 教学过程： 一、复习引入： 1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值 5. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值 6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值 二、讲解范例： 例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积 ． 令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积 ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处． 事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得，则 S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 +4πR=0 解得，R=，从而h====2 即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S=2+h= V(R)=R= )=0 ． 例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入， 利润 令，即，求得唯一的极值点 答：产量为84时，利润L最大 三、课堂练习： 1.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是_____. 2.函数f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值为_____；最小值为_____. 3.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分 ... ...