【苏教版必修五课时训练】3.4.1基本不等式的应用

3.4.2 基本不等式的应用 一、填空题 1．函数y＝log2 (x>1)的最小值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为 3．若xy是正数，则2＋2的最小值是 4．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_____元． 5．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为_____． 6．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为_____． 二、解答题 7．求下列函数的最小值． (1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值； (2)设x>－1，求y＝的最小值． 8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? 9.已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3.求a＋b的最小值． 10　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 答案 1答案　3 2答案　4 解析　∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4. 3答案　4 解析　2＋2＝x2＋y2＋＋＋ ＝＋＋≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号． 4答案　1 760 解析　设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么 y＝120·4＋2·80·＝480＋320 ≥480＋320·2＝1 760(元)． 当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 5答案　8 解析　∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0， 即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0. ＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8. 当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立． 故＋的最小值为8. 6答案　 解析　设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为. 7解　(1)2x＋y＝＝(2x＋y) ＝≥(2＋4)＝. 当且仅当＝时取“＝”，即y2＝4x2，∴y＝2x. 又∵＋＝3，求出x＝，y＝.∴2x＋y的最小值为. (2)∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1， 于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1. ∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9. 8解　设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝， 即y＝1＋＋(x∈N*)． 由基本不等式知y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元． 解　方法一　∵a＋b＋3＝ab≤，设a＋b＝t，t>0，则t2≥4t＋12. 解得：t≥6 (t≤－2舍去)，∴(a＋b)min＝6. 方法二　∵ab＝a＋b＋3，∴b＝>0，∴a>1. ∴a＋b＝a＋＝a＋＋1＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6. 当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号． 10解　(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知：4x+6y=36，即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S，则S=xy. 方法一 由于 ， 得 即 当且仅当 等号成立 ，由 解得 故每间笼长为4.5m,宽为 3m, 可使面积最大， 方法二 由 ，得 x>0, 0