1．[2015·潍坊一模]已知函数f(x)＝x－－aln x. (1)若f(x)无极值点，求a的取值范围； (2)设g(x)＝x＋－(ln x)a，当a取(1)中的最大值时，求g(x)的最小值． 解 (1)由题意f′(x)＝1＋－＝. 由于f(x)无极值点，故x2－ax＋1≥0在(0，＋∞)恒成立， 即a≤x＋，x∈(0，＋∞)恒成立， 又x＋≥2(x＝1取等号)，故min＝2， ∴a≤2. (2)当a＝2，g(x)＝x＋－(ln x)2， g′(x)＝1－－2ln x·＝. 设k(x)＝x2－2xln x－1. k′(x)＝2x－2ln x－2＝2(x－1－ln x)， 下面证明：ln x≤x－1，设m(x)＝ln x－x＋1，m′(x)＝－1＝， x∈(0,1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增， x∈(1，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减， ∴m(x)≤m(1)＝0，即ln x≤x－1， ∴k′(x)≥0，故k(x)在(0，＋∞)单调递增， 又k(1)＝0，所以： x∈(0,1)时，k(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减， x∈(1，＋∞)时，k(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增， g(x)≥g(1)＝2， 故g(x)的最小值为2. 2．[2015·太原一模]已知函数f(x)＝(x2－ax＋a)ex－x2，a∈R. (1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)若函数f(x)在x＝0处取得极小值，求a的取值范围． 解 (1)由题意得f′(x)＝x[(x＋2－a)ex－2]＝xex(x＋2－－a)，x∈R， ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴x＋2－≥a在(0，＋∞)上恒成立， 又函数g(x)＝x＋2－在(0，＋∞)上单调递增， ∴a≤g(0)＝0， ∴a的取值范围是(－∞，0]． (2)由(1)得f′(x)＝xex，x∈R， 令f′(x)＝0，则x＝0或x＋2－－a＝0，即x＝0或g(x)＝a， ∵g(x)＝x＋2－在(－∞，＋∞)上单调递增，其值域为R， ∴存在唯一x0∈R，使得g(x0)＝a， ①若x0>0，当x∈(－∞，0)时，g( ( http: / / www.21cnjy.com / )x)
0；当x∈(0，x0)时，g(x)0；当x∈(0，＋∞)时，g(x)>a，f′(x)>0，∴f(x)在x＝0处不取极值，这与题设矛盾． ③若x0<0，当x∈(x0,0)时，g(x ( http: / / www.21cnjy.com / ))>a，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，g(x)>a，f′(x)>0，∴f(x)在x＝0处取得极小值． 综上所述，x0<0，∴a＝g(x0)2即0时，求函数f(x)的单调区间； (2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－(a∈Z)成立，求a的最小值． 解 (1)f′(x)＝，x>－1. 当a≥时，f′(x)≤0，∴f(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 当0
