2017届高考理科数学二轮复习训练：1-3-2高考中的数列（解答题型）（含解析）

1．[2015·郑州质量预测(二)]已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4＋，a11成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知d>0， 因为a3，a4＋，a11成等比数列，所以2＝a3a11， 所以2＝(1＋2d)(1＋10d)，即44d2－36d－45＝0， 所以d＝(d＝－舍去)， 所以an＝. (2)bn＝＝＝， 所以Tn＝＝. 2．[2015·石家庄一模]设数列{an ( http: / / www.21cnjy.com / )}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N ，λ≠－1)，且a1、2a2、a3＋3为等差数列{bn}的前三项． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和． 解　(1)解法一：∵an＋1＝λSn＋1(n∈N )， ∴an＝λSn－1＋1(n≥2)， ∴an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an(n≥2)，λ＋1≠0， 又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1， ∴数列{an}是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列， ∴a3＝(λ＋1)2， ∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2. 解法二：∵a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N )， ∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1， ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴an＋1＝Sn＋1(n∈N )， ∴an＝Sn－1＋1(n≥2)， ∴an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)， 又a1＝1，a2＝2， ∴数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列， ∴an＝2n－1， bn＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)由(1)知，anbn＝(3n－2)×2n－1，设Tn为数列{anbn}的前n项和， ∴Tn＝1×1＋4×21＋7×22＋…＋(3n－2)×2n－1，① ∴2Tn＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n－5)×2n－1＋(3n－2)×2n.② ①－②得，－Tn＝1×1＋3×21＋3×22＋…＋3×2n－1－(3n－2)×2n ＝1＋3×－(3n－2)×2n， 整理得：Tn＝(3n－5)×2n＋5. 3．[2015·云南统测]在数列{an}中，a1＝，an＋1＝2－，设bn＝，数列{bn}的前n项和是Sn. (1)证明数列{bn}是等差数列，并求Sn； (2)比较an与Sn＋7的大小． 解　(1)证明：∵bn＝，an＋1＝2－，∴bn＋1＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1， ∴数列{bn}是公差为1的等差数列． 由a1＝，bn＝得b1＝－， ∴Sn＝－＋＝－3n. (2)由(1)知：bn＝－＋n－1＝n－.由bn＝得an＝1＋＝1＋. ∴an－Sn－7＝－＋3n－6＋. ∵当n≥4时，y＝－＋3n－6是减函数，y＝也是减函数， ∴当n≥4时，an－Sn－7≤a4－S4－7＝0. 又∵a1－S1－7＝－<0，a2－S2－7＝－<0，a3－S3－7＝－<0，∴ n∈N ，an－Sn－7≤0， ∴an≤Sn＋7. 4．[2015·德阳二诊]已知正项等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7. (1)求an的通项公式； (2)若bn＝an·log2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N )，求Tn的值． 解　(1)由a2a4＝1得：a＝1，∵an>0，∴a3＝1， 由S3＝7得：a1＋a2＋a3＝7， ∴＋＋1＝7，∴6q2－q－1＝0， ∴q＝或q＝－(舍) ∴a1＝＝4，∴an＝4n－1＝23－n. (2)bn＝·23－n·(3－n)＝， ∴Tn＝＋＋…＋　① Tn＝＋＋…＋　② ①－②得：Tn＝1－－ ＝1－－ ＝1－＋n－ ＝＋，∴Tn＝1＋. 5．[2015·大连一模]已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)证明：当n≥2时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn<. 证明　(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，Sn－1－Sn＝2SnSn－1， －＝2，从而是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)可知，＝＋(n－1)×2＝2n－1， ∴Sn＝，∴当n≥2时，Sn＝<＝·＝， 从而S1＋S2＋S3＋…＋Sn<1＋＝－<. 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a ( http: / / www.21cnjy.com / )1＝1，a2＝4，Sn＋1＝5Sn－4Sn－1(n≥2)，等差数列{bn}满足b6＝6，b9＝12， (1)分别求数列{an}，{bn}的通 ... ...