1.5.1和1.5.2 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 同步练习 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) A．y＝x2 B．y＝|x| C．y＝ D．y＝ 解析： 由于函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线． 答案： D 2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( ) A．f B．f C．f D．f(0) 解析： 当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替． 答案： C 3．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A． B． C． D． 解析： 将区间[0，1]三等分为，，，各小矩形的面积和为s1＝03·＋3·＋3·＝. 答案： A 4．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析： 将区间[0，a]n等分，记第i个区间为(i＝1，2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则Sn＝2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝·，依题意得 ·＝9，∴＝9，解得a＝3. 答案： C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_____． 解析： ∵把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1，2，…，10)，每个小区间的长度为1. ∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55. 答案： 55 6．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0，1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为_____． 解析： 由题意得 S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33. 答案： 0.33 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求直线x＝0，x＝2， y＝0与曲线y＝所围成的曲边梯形的面积． 解析： 令f(x)＝. (1)分割 将区间[0，2]n等分，分点依次为 x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2. 第i个区间为(i＝1，2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝. (2)近似代替、求和 取ξi＝(i＝1，2，…，n)， Sn＝·Δx＝2··＝2 ＝(12＋22＋…＋n2)＝· ＝. (3)取极限S＝Sn＝ ＝，即所求曲边梯形的面积为. 8．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动．在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？ 解析： ①分割：将时间区间[0，1]分为n等份，形成n个小区间[ti－1，ti]＝(i＝1，2，…，n)，且每个小区间长度为Δti＝(i＝1，2，…，n)．汽车在每个时间段上行驶的路程分别记作：Δs1，Δs2，…，Δsn. 则显然有s＝si. ②近似代替：当n很大，即Δt很小时，在区间上，函数v(t)＝－t2＋2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值v＝－2＋2.从物理意义看，就是汽车在时间段(i＝1，2，…，n)上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度v＝－2＋2做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”．于是 Δsi≈Δs′i＝vΔt＝· ＝－2·＋(i＝1，2，…，n)． ( ) ③求和：由( )得sn＝s′i＝Δt ＝ ＝－0·－2·－…－2·＋2 ＝－[12＋22＋…＋(n－1)2]＋2 ＝－·＋2 ＝－＋2. ④取极限：当n趋向于无穷大，即Δt趋向于0时， sn＝－＋2趋向于s，从而有21世纪教育网 s＝sn＝v ＝ ＝. ? 9.求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝x3所围成的图形的面积． 解析： ①分割 如图所示，用分点，，…，，把区间[1，2]等分成n个小 ... ...
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