4.1 数学归纳法 教案

4.1 数学归纳法 教案 教学目标 1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题； 2.进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程， 体会类比的数学思想. 教学重、难点 重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握. 难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程 一、创设情境，引出课题 (1)不完全归纳法： 今天早上，我曾疑惑，怎么一中(永昌一中)只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学.于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？21世纪教育网版权所有 (这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题) (2)完全归纳法： 一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？ (将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证.) 注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法. 结论：不完全归纳法→结论不可靠； 完全归纳法→结论可靠. 问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？(完全归纳法)21教育网 情境一：(播放多米诺骨牌视频) 问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？ 二、讲授新课： 探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？ 条件一：第一张骨牌倒下； 条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下. 探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明有些启发？ 得出结论：证明的两个步骤： (1)证明当时，命题成立； (2)假设当时命题成立，证明当时命题也成立. 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当取第一个值时命题成立； (2)(归纳递推)假设时命题成立，证明当时，命题也成立. 只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从开始的所有正整数都成立. 上述方法叫做数学归纳法. 三、应用举例： 例1 证明：能够被6整除. 例2 平面上有n个点，其中任何三点都不在同一条直线上.过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少个？证明你的结论.21cnjy.com 四、课堂小结： 问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？(学生总结，教师整理) 1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现. 2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想； 3、数学归纳法一般步骤： 归纳奠基 归纳递推 4、应用数学归纳法要注意以下几点： (1)第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的； (2)第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法； (3)n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其它一些正整数； (4)第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法. ... ...