4.1 数学归纳法 同步练习2（含答案）

4.1 数学归纳法 同步练习 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋r＋r2＋…＋rn＝(n∈N，r≠1)，在验证n＝0时，左端计算所得项为 (　　)． A．1 B．r C．1＋r D．1＋r＋r2 答案　A 2．n条共面直线任何两条不平行，任何三条不共点，设其交点个数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)等于 (　　)． A．n B．n＋1 C.n(n－1) D.n(n＋1) 答案　A 3．设f(n)＝＋＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于 (　　)． A. B. C.＋ D.＋－ 答案　D 4．在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证 (　　)． A．n＝1成立 B．n＝2成立 C．n＝3成立 D．n＝4成立 答案　C 5．用数学归纳法证明“时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是_____．21教育网 答案　2k 三、解答题 8．已知Sn＝1＋＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)． 求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)． 证明　(1)当n＝2时，S2n＝1＋＋＋＝>1＋，不等式成立. (2)假设n＝k (k≥2)时不等式成立，即 S2k＝1＋＋＋＋…＋>1＋， 当n＝k＋1时， S2k＋1＝1＋＋＋＋…＋＋＋…＋ >1＋＋＋…＋>1＋＋ ＝1＋＋＝1＋. 故当n＝k＋1时不等式也成立， 综合(1)(2)知，对任意n∈N*，n≥2， 不等式S2n>1＋都成立. 9．平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分成f(n)＝个部分． 证明　(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两部分， 而f(1)＝＝2，∴命题成立． (2)假设当n＝k (k≥1)时命题成立，即k条直线把平面分成f(k)＝个部分． 则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交，有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在的平面区域分成两部分，故新增加了k＋1个平面部分．21·cn·jy·com ∵f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＝＋k＋1 ＝＝， ∴当n＝k＋1时命题成立． 由(1)(2)可知，当n∈N*时，命题成立． 10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋，且存在x0∈， 使f(x0)＝x0. (1)证明：f(x)是R上的单调增函数； (2)设x1＝0，xn＋1＝f(xn)，y1＝，yn＋1＝f(yn)，其中n＝1，2，….证明：xn0， ∴f(x)是R上的单调增函数． (2)∵00＝x1， y2＝f(y1)＝f＝<＝y1. 综上，x1