4.2 用数学归纳法证明不等式 同步练习1（含答案）

4.2 用数学归纳法证明不等式 同步练习 一、选择题 1．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第二步证明从“k到k＋1”，左端增加的项数是 (　)． A．2k－1 B．2k C．2k－1 D．2k＋1 答案　B 2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取 (　　)． A．7 B．8 C．9 D．10 解析　1＋＋＋＋＋…＋＝， n－1＝6，n＝7，故n0＝8. 答案　B 3．已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为 (　　)． A．2n B．n2 C．22(n－1) D．nn 答案　D 4．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是 (　)． A．P(n)对所有正整数n成立 B．P(n)对所有正偶整数n成立 C．P(n)对所有正奇整数n成立 D．P(n)对所有比1大的自然数n成立 答案　B 二、填空题 5．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第一步要证明的不等式是_____．21教育网 答案　n＝2时，左边＝1＋＋＝<2＝右边 6．用数学归纳法证明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈Z*，α≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是_____．21cnjy.com 答案　＋cos α 7．用数学归纳法证明：2n＋1≥n2＋n＋2 (n∈N*)时，第一步应验证_____．21世纪教育网版权所有 答案　n＝1时，22≥12＋12＋2，即4＝4 8．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应验证不等式为_____． 答案　1＋＋＜2 三、解答题 9．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>1 (n>1，n∈N*)． 证明　(1)当n＝2时，＋＋＝＝>1， 即n＝2时命题成立. (2)设n＝k (k≥2)时，命题成立， 即＋＋＋…＋>1， 当n＝k＋1时， 左边＝＋…＋＋ >1＋(2k＋1)·－＝1＋. ∵k>2，令f(k)＝k2－k－1，对称轴为k＝， ∴(2，＋∞)为t的增区间， ∴f(k)>f(2)，即k2－k－1>22－2－1＝1， ∴>0，∴n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)(2)知，当n>1，n∈N*时，命题都成立． 10．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1，2，3，…)．21·cn·jy·com (1)求a1、a2. (2)求数列{an}的通项公式． 解　(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝. (2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0， 即S－2Sn＋1－anSn＝0. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(*) 由(1)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝. 由(*)可得S3＝. 由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…. 下面用数学归纳法证明这个结论． ①n＝1时已知结论成立． ②假设n＝k时结论成立，即Sk＝. 当n＝k＋1时，由(*)得Sk＋1＝， 即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立． 综上，由①②可知，Sn＝对所有正整数n都成立． 于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1时，a1＝＝，所以{an}的通项公式为an＝，n＝1，2，3，….2·1·c·n·j·y 11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝＋ (n≥1)． 证明：成立． (1)当n＝1时，a1＝2>成立． (2)假设n＝k (k≥1)时，ak>成立， 当n＝k＋1时，由题意知ak＋1＝＋≥2 ＝， 即ak＋1≥，当且仅当＝即ak＝时，等号成立． 这与ak>矛盾，所以只有ak＋1>. 由(1)，(2)知，不等式an> (n∈N*)成立． 其次，证明不等式an<＋ (n∈N*)成立． (1)当n＝1时，a1＝2<＋＝1＋，即不等式成立． (2)假设n＝k (k≥1)时，不等式ak<＋成立． 由题知，当n＝k＋1时，ak＋1＝＋， 由ak<＋，得<＋① 由ak>，得<② 由①，②得＋<＋＋＝＋， 即ak＋1<＋＝＋<＋， 即ak＋1<＋成立． 由(1)，(2)得不等式an<＋ (n∈N*)成立． 综上所述，