4.2 用数学归纳法证明不等式 同步练习2（含答案）

4.2 用数学归纳法证明不等式 同步练习 1．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)2-1-c-n-j-y A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 答案：C 2．当n＝1，2，3，4，5，6时，比较2n与n2的大小并猜想(　　) A．n≥1时，2n＞n2 B．n≥3时，2n＞n2 C．n≥4时，2n＞n2 D．n≥5时，2n＞n2 答案：D 3．用数学归纳法证明2nn＞n2(n∈N，n≥5)，则应第一步验证n＝_____. 答案：5 4．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时不等式成立，当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_____．21教育网 答案：－＋＞－ 5．关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是(　　) A．n∈N* B．n≥4 C．n>4 D．n＝1或n>4 答案：D 6．用数学归纳法证明： 1＋＋＋…＋＜2(其中n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边＜右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即 1＋＋＋…＋＜2， 那么n＝k＋1时， 1＋＋＋…＋＋＜2＋ ＝＜ ＝2. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据(1)和(2)可知，不等式对任何n∈N*都成立． 7．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*. (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式． (2)当a1≥3时，证明对所有n≥1，有： ①an≥n＋2； ②＋＋…＋≤. 解析：(1)由a1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想 an＝n＋1. (2)①当n＝1时，a1＝3≥1＋2，不等式成立． 假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立， 即ak≥k＋2， 当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3.21cnjy.com 即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立． ∴an≥n＋2对于n∈N*都成立． ②由an＋1＝a－nan＋1及(1)知： 当k≥2时，ak＝a－(k－1)ak－1＋1 ＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1， ∴ak＋1≥2(ak－1＋1)． 即≥2.∴ak＋1≥2k－1(a1＋1)， ≤·(k≥2)， ＋＋…＋ ≤ ＝≤≤. 8．证明：1＋＋＋…＋≥(n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1， ∴左边≥右边．即命题成立． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即：1＋＋＋…＋≥.则当n＝k＋1时，要证明1＋＋＋…＋＋≥，只要证＋≥. ∵－－ ＝－ ＝ ＝＜0， ∴＋≥成立， 即1＋＋＋…＋＋≥成立． ∴n＝k＋1时，命题成立，根据(1)、 (2)可知，对一切n∈N*命题都成立． 9．等差数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1＝2，且s2＋b2＝7，S4－b3＝2.21·cn·jy·com (1)求an与bn； (2)设cn＝，Tn＝c1·c2·c3…cn，求证： Tn≥(n∈N*)． (1)解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题知：s2＋b2＝7，s4－b3＝2， ∴d＋2q＝5，3d－q2＋1＝0， 解得q＝2或q＝－8(舍去)，d＝1； ∴an＝1＋(n－1)＝n，bn＝2n. (2)证明：∵cn＝， ∴cn＝. Tn＝×××…×. 下面用数学归纳法证明Tn≥对一切正整数成立． (1)当n＝1时，T1＝≥，命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，∴Tk≥，则当n＝k＋1时， ∵Tk＋1＝Tk·≥· ＝· ＝· ≥， 这就是说当n＝k＋1时命题成立， 综上所述，原命题成立． 10．已知数列{bn}是等差数列，且b1＝1，b1＋b2＋b3＋…＋b10＝100. (1)求数列{bn}的通项bn； (2)设数列{an}的通项为an＝lg，设Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与lg bn＋1的大小，并证明你的结论．2·1·c·n·j·y 分析：本题除了考查有关数列的知识之外，在比较大小时还可进行归纳、猜想，然后用数学归纳法进行证明． 解析：(1)由b1＝1，S10＝100得d＝2，所以bn＝2n－1. (2)由bn＝2n－1得： Sn＝lg(1＋1)＋lg＋…＋lg ＝lg， lg bn＋1＝lg，要比较Sn与lg bn＋1的大小可先比较(1＋1)…与的大小． 当n＝1时， ... ...