衡阳县一中2016年下学期高二学科竞赛数学试题 分值：150分 时量：120分钟 命题人： 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列中，，则等于（ b ） A．12 B．21 C．15 D．18 2.已知公比为2的等比数列的前项和为，则等于（ a ） A． B． C． D． 3.已知命题若，则，则下列叙述正确的是（ D ） A．命题的逆命题是：若，则 B．命题的否命题是：若，则 C．命题的否命题是：若，则 D．命题的逆否命题是真命题 4.若实数满足约束条件，则的最小值为（ a ） A． 0 B． C. D．-1 5.若的内角所对的边分别是，已知，且，则等于（ C ） A． B． C． D．4 6．M是抛物线上一点，且在轴上方，F是抛物线的焦点，以轴的正半轴为始边，FM为终边构成的角为60°则 （ c ） A．2 B．3 C．4 D．6 7.已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B是以坐标原点O(0,0)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是正三角形,则此椭圆的离心率为( d ) A. B. C.-1 D.-1 8.已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，同下列数中是数列中的项是（ b ） A．16 B．64 C．32 D．128 9.在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则等于（ D ） A． B． C． D． 10.已知，且，则的最小值为（ a ） A．8 B．6 C．5 D．4 11.已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则等于（ c ） A．64 B．72 C．80 D．90 12.若双曲线-=1(a>0,b>0)上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 ( c ) A.(,+∞) B.[,+∞) C.(1,] D.(1,) 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在数列中，，且数列是等差数列，则___ _____． 14.在中，角的对边分别为，则的最大值为____2_____． 15.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k= . 16.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)在R上单调递增,且2a+b≤4,则的取值范围为 [,2 ) 由2x+b-1在R上单调递增,f(x)=loga(2x+b-1)在R上单调递增,得a>1.由2x+b-1>0,得b-1≥0,即b≥1,所以画出可行域,如图,由=,得的取值范围可转化为(a,b),(0,0)两点所在直线的斜率范围,由图可知kOB最大,kOA最小,由得B(1,2),所以kOB=2,由得A(,1),所以kOA=,结合图形得∈[,2). 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分） 设条件；条件，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． .解：设，， 则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又当或时，， 故实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18.（本小题满分12分） 已知向量=(cosx,-1),向量=(sinx,),函数f(x)=(+) (1)求f(x)的最小正周期T. (2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=1,c=,且f(A)恰是f(x)在[0,]上的最大值,求A和b的大小. 【解析】(1)f(x)=(m+n)·m=cos2x+sinxcosx+ =+sin2x+ =cos2x+sin2x+2 =sin(2x+)+2. 因为ω=2,所以T==π. (2)由(1)知:f(A)=sin(2A+)+2, 当A∈[0,]时,≤2A+≤, 由正弦函数图象可知, 当2A+=时f(A)取得最大值3, 所以2A+=,A=. 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA, 所以1=b2+3-2×b××cos. 解得b=1或b=2. 19.（本小题满分12分） 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设等差数列的前项和为，，求的值． 解：（1）∵① ，∴当时， ②，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ①———得，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又，．．．．．．．．．．．． ... ...
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