专题14 抛物线 1．抛物线的定义 2．抛物线的标准方程 3．抛物线的几何性质 4．直线与抛物线的位置关系 讨论直线与抛物线的位置关系，一般是将直线方程与抛物线的方程联立成方程组，消去y得关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，讨论a及判别式Δ，由ax2＋bx＋c＝0解的情况得到直线与抛物线的位置关系．当a≠0且Δ<0时，直线与抛物线没有公共点；当a≠0且Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当a＝0且b≠0时，直线与抛物线相交，有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行；当a≠0且Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点． 例1 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( ) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 变式1 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A. B．3 C.D. 例2 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，求k的值． 变式2 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于_____． 例3 如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°. 证明：直线AB必过一定点； 变式3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值． A级 1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) 2．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( ) A. B．1 C.D. 3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( ) A．2 B．2 C．4 D．2 4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A、B两点，则弦AB的长为( ) A．2B．2C．2D．2 5．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_____． 6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝_____. 7．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程是y＝3； (2)过点P(－2，4)； (3)焦点到准线的距离为. B级 8．动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 9．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于( ) A. B. C. D. 10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 11．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是_____． 12．如图所示是抛物线形拱桥， 当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽_____ m. 13．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点． 详解答案 典型例题 例1 C [由题意知：F，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为2＋2＝，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.] 变式1 A 例2 ... ...
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