专题16 空间向量在立体几何中的应用 1．判断平行、垂直关系 直线的方向向量平行(垂直)，则直线平行(垂直)； 直线的方向向量与平面法向量平行，则线面垂直； 直线的方向向量与平面法向量垂直，则线面垂直(直线不在此平面内)； 平面法向量平行(垂直)，则面面平行(垂直)． 2．求异面直线所成的角 设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，向量夹角为θ，异面直线所成的角为α，则：cosα＝|cosθ|. 3．求直线与平面所成的角 直线的方向向量、平面法向量分别为n1、n2，向量夹角为θ，线面角为α，则sin α＝|cosθ|. 4．求二面角 方法一：平面法向量分别为n1、n2，向量夹角为θ，二面角为α，则|cosα|＝|cosθ|； 方法二：如图，BA、EF分别在半平面内，BA⊥l，EF⊥l，则二面角即为〈，〉． 例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 变式1 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点． 求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是_____． 变式2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_____． 例3 如图，三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2. (1)证明：DE⊥平面PCD； (2)求二面角APDC的余弦值． 变式3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点． (1)证明：B1C1⊥CE； (2)求二面角B1－CE－C1的正弦值； (3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． A级 1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于( ) A．2 B．－4 C．4 D．－2 2．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( ) A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1 3．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为( ) A.B.C.D. 4．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为( ) A. B. C.或 D.或 5．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_____． 6．如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，则异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小为_____． 7．设ABCD、ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为_____． B级 8．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( ) A.B.C. D. 10．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_____． 11．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为_____． 12．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于_____． 13．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB ... ...
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