2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案：3.4反证法

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com §4　反证法 1．了解间接证明的一种基本方法———反证法． 2．理解反证法的概念及思考过程和特点．(难点) 3．掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题．(重点、难点) [基础·初探] 教材整理　反证法 阅读教材P65～P67“练习”以上内容，完成下列问题． 1．反证法的定义 在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．21·世纪 教育网 2．反证法证明的思维过程 反证法的证明过程可以概括为“否定———推理———否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程． 用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图3 4 1表示： →→→ 图3 4 1 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．(　　) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理．(　　) (3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾．(　　) 【解析】　(1)正确．反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法． (2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理． (3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)× [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____ 解惑：_____ 疑问2：_____ 解惑：_____ 疑问3：_____ 解惑：_____ [小组合作型] 用反证法证明否定性命题 　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn； (2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 【精彩点拨】　第(1)问应用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明． 【自主解答】　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得 ∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)证明：由(1)得bn＝＝n＋. 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr， 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N＋，∴ ∴2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，这与p≠r矛盾． 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 1．当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾． 2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． 3．常见否定词语的否定形式如下表所示： 否定词语 否定词语的否定形式 没有 有 不大于 大于 不等于 等于 不存在 存在 [再练一题] 1．已知方程f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根． 【证明】　假设x0是方程f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＋＝0，所以ax0＝－. 又当x0<0时，0