中考一轮复习讲义第23讲特殊四边形 【考点解析】 知识点一、矩形的性质及判定的应用 【例1】（2016·四川宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ） A．4.8 B．5 C．6 D．7.2 【考点】矩形的性质． 【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF求得答案． 【解答】解：连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8， ∴S矩形ABCD=AB?BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10， ∴OA=OD=5， ∴S△ACD=S矩形ABCD=24， ∴S△AOD=S△ACD=12， ∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12， 解得：PE+PF=4.8． 故选：A． 【变式】 （2016·四川眉山·3分）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB； ③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证?DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF； ④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE，得出结论S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2． 【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC， 故①正确； ②∵FB垂直平分OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC≌△EOA， ∴FO=EO， 易得OB⊥EF， ∴△OMB≌△OEB， ∴△EOB≌△CMB， 故②正确； ③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵DF∥BE且DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF， 故③正确； ④在直角△BOE中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2， 故④错误； 所以其中正确结论的个数为3个； 故选B 【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．21·世纪*教育网 知识点二、菱形的性质及判定的应用 【例2】（2015辽宁朝阳）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是 （只填写序号）． 【答案】③，证明见解析． 【分析】由点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，即可得到四边形BECF是平行四边形，由AF是BC的中垂线，得到BE=CE，从而得到结论． 【解析】∵BD=CD，DE=DF，∴四边形BECF是平行四边形，①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形； ②四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形； ③AB=AC时，∵D是BC的中点，∴AF是BC的中垂线，∴BE=CE，∴平行四边形BECF是菱形． 故答案为：③． .【点评】此题主要考查了菱形的判定以及等腰三角形的性质，能根据已知条件来选择让问题成立的条件是解题关键． 【变式】 （2016·青海西宁·2分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的 ... ...
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