江苏省南京市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科） 　 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上 1．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是　　． 2．双曲线=1的渐近线方程是　　． 3．已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是　　． 4．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是　　． 5．曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是　　． 6．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是　　． 7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是　　． 8．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是　　． 9．观察下列等式： （sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4； （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5； … 照此规律， （sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=　　． 10．若“ x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是　　． 11．已知函数f（x）=（x2+x+m）ex（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是　　． 12．有下列命题： ①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件； ②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件； ③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件； ④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件． 其中所有真命题的序号是　　． 13．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是　　． 14．已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是　　． 　 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）． （1）求BC边上的中线所在直线的方程； （2）求BC边上的高所在直线的方程． 16．已知数列{an}满足a1=1，（an﹣3）an+1﹣an+4=0（n∈N ）． （1）求a2，a3，a4； （2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）． （1）求圆M的方程； （2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程． 18．某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心． （1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）； （2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积． 19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方． （1）求椭圆E的方程； （2）若BC⊥CD，求k的值； （3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值． 20．已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）． （1）当a=1时，求f（x）的最小值； （2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值 ... ...