2017年中考数学二轮专题复习讲义第19讲四边形综合问题

2017年中考数学二轮专题复习讲义（19）四边形综合问题 【专题点拨】 四边形是中考中的重要考点，主要考察学生对图形的认识、图形知识的掌握，辅助线的添加等内容，综合性较强，注重学生正确的推理与计算能力的培养。21*cnjy*com 【解题策略】 解决这类问题的关键应把握四边形的性质与判定，加强相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间关系，进行观察、解析找到解决途径，进一步体会三角形与四边形之间相互转化、相互依存的内在关系。【典例解析】【出处：21教育名师】 类型一：平行四边形问题 例题1：（2016·山东省菏泽市·3分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．21*cnjy*com （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 【考点】平行四边形的判定与性质． 【解析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可． 【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DG∥BC，DG=BC， ∵E、F分别是OB、OC的中点， ∴EF∥BC，EF=BC， ∴DE=EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°， ∵M为EF的中点，OM=3， ∴EF=2OM=6． 由（1）有四边形DEFG是平行四边形， ∴DG=EF=6． 【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形． 变式训练1： （2016·山东省滨州市·10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG． （1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由； （2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值． 类型二：特殊平行四边形问题 例题2：（2016·山东省济宁市·3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO． （1）已知BD=，求正方形ABCD的边长； （2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明． 【考点】正方形的性质． 【解析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得； （2）根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF，进一步得出∠BAF=∠BCN，然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN，进而证得△ABF∽△COM，根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN=CM． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴2AB2=BD2， ∵BD=， ∴AB=1， ∴正方形ABCD的边长为1； （2）CN=CM． 证明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线， ∴CE⊥AF， ∴∠AEN=∠CBN=90°， ∵∠ANE=∠CNB， ∴∠BAF=∠BCN， 在△ABF和△CBN中， ， ∴△ABF≌△CBN（AAS）， ∴AF=CN， ∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN， ∴∠BAF=∠OCM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∴∠ABF=∠COM=90°， ∴△ABF∽△COM， ∴=， ∴==， 即CN=CM． 变式训练2： （2016·黑龙江哈尔滨·8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．21世纪教育网版权所有 （1）求证：AP=BQ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长． 类型三：四边形与图形变换综合问题 例题3：（2016·山东省东营市·10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形， ... ...