2017年高考诊断性测试 文科数学参考答案 一、选择题 A D B B C A D B C C 二、填空题 11. 12. 13. 14. 15. ③ 三、解答题 16.解：（1）, …………………3分 由 ， 得 ， …………………5分 所以的单调递减区间为. ………………6分 （2）由（1）知, 当时，, 结合正弦函数图象可知，当，即时取得最大值. 因为是在上的最大值，所以. …………………8分 在中，由余弦定理得 ， 即 , 解得 , …………………10分 于是. …………………12分 17.(1)证明：因为在平面内以为直径的圆经过点,， 所以平行四边形为正方形，所以 , 因为平面，又平面, 所以. ……………………2分 因为，，， 平面,平面, 所以平面， 又平面, 所以. …………………4分 因为在三角形中，，为的中点 所以 又在平行四边形中，， 所以. …………………6分 因为，，， 平面，平面， 所以平面， ……………………7分 又平面，所以平面平面. ……………………8分 (2)解：由（1）知平面， 所以是三棱柱的高， …………………10分 所以. …………………12分 18.解：（1）由题意，可知， ∴． ……………………2分 （2）甲部门服务情况的满意度为 ． …………………3分 乙部门服务情况的满意度为． …………………5分 ∴乙部门服务情况的满意度较高. ……………………6分 （3）由题意，设乙部门得分为的6个样本数据从小到大依次为． 则随机抽取两个样本数据的所有基本事件有： 共15个． ………………… 9分 其中“至少有一个样本数据落在内”包含 共9个基本事件． ……………………11分 ∴至少有一个样本数据落在内的概率为. ………………12分 19.解：（1）由已知，， 当时，， …………………2分 当时，，适合上式， 所以. ……………………4分 由于，，所以公比， 所以. ……………………6分 （2） , 当为偶数时， . ……………9分 当为奇数时，为偶数， ………………11分 综上所述， ………………12分 20. 解：（1）抛物线的焦点为， ………………2分 又椭圆上的点到的最大距离为， . …………………4分 由，知. 所以椭圆的方程为. …………………5分 (2)设直线的方程为， 由 整理得， …………7分 设直线与椭圆的交点为， 则有 ， ………………………8分 于是的面积 ………………………9分 ， ……………10分 令， 于是 ， 令，， 所以在单调递增，所以当时，取最小值， 取最大值 所以的面积最大值为. ………………13分 21. 解：（1），当时，， 所以在处的切线方程为：， …………2分 联立，消可得，， 由题意可知，， 所以； ………………………………4分 (2)由（1）知，当，，单调递减， 当，，单调递增． …………………………6分 ①，即时，； ② ，即时，； ③ ，即时，在上单调递增，； 所以． ……………………………9分 （3）设，则， ……………………………10分 当时，,单调递增； 当时，,单调递减， 可得，当且仅当时取到. …………12分 由（2）知的最小值是，当且仅当时取到. 因此当时，恒成立. 又两次最值不能同时取到，所以对一切，都有.……14分 ... ...
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