2016-2017年北师大版数学必修4同步学案：第三章 三角恒等变换（5份）

2.3　两角和与差的正切函数 1．能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点) 2．掌握公式Tα±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点) [基础·初探] 教材整理　两角和与差的正切公式 阅读教材P121例4以上部分，完成下列问题． 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1 两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1 1.变形公式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－. 2．公式的特例 tan＝； tan＝. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)tan αtan β，tan(α＋β)，tan α＋tan β三者知二，可表示或求出第三个．(　　) (2)tan能用公式tan(α＋β)展开．(　　) (3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　) (4)公式T(α±β)，对任意α，β都成立．(　　) 【解析】　由T(α±β)知，(1)对，(2)错，(4)错． 对于(3)，存在α＝，β＝－. 此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β＝0. 【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____ 解惑：_____ 疑问2：_____ 解惑：_____ 疑问3：_____ 解惑：_____ [小组合作型] 两角和与差的正切公式的灵活运用 　求下列各式的值． (1)； (2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23 °tan 37°. 【精彩点拨】　解决(1)题可考虑＝tan 60°，再逆用公式，解决(2)题注意到23°＋37°＝60°，而tan 60°＝，故联想tan(23°＋37°)的展开形式，并变形，即可解决． 【自主解答】　(1)原式＝ ＝tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝＝＝＝2＋. (2)∵tan(23°＋37°)＝tan 60° ＝＝， ∴tan 23°＋tan 37°＝(1－tan 23°tan 37°)， ∴原式＝(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝. 1．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 2．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的正切公式的结构形式，然后逆用公式求值． [再练一题] 1．(1)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°； (2)(3＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 50°＋tan 50°·tan 60°)·tan 10°. 【解】　(1)tan 15°＋tan 30°＝tan(15°＋30°)(1－tan 15°·tan 30°) ＝tan 45°(1－tan 15°·tan 30°) ＝1－tan 15°·tan 30°， 所以原式＝1－tan 15°·tan 30°＋tan 15°·tan 30° ＝1. (2)原式＝(1＋tan 30°tan 40°＋1＋tan 40°tan 50°＋1＋tan 50°tan 60°)·tan 10°， 因为tan 10°＝tan(40°－30°)＝， 所以1＋tan 40°tan 30°＝. 同理，1＋tan 40°tan 50°＝， 1＋tan 50°tan 60°＝. 所以原式＝ ·tan 10° ＝tan 40°－tan 30°＋tan 50°－tan 40°＋tan 60°－tan 50° ＝－tan 30°＋tan 60°＝－＋＝. 给值求角 　已知α∈，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－.求(2α－β)的值. 【导学号：66470070】 【精彩点拨】　先由α＝(α－β)＋β，求出tan α，再由2α－β＝(α－β)＋α求出tan(2α－β)，然后根据α，β的范围，求出2α－β的值． 【自主解答】　∵tan(α－β)＝，tan β＝－. ∴tan α＝tan [(α－β)＋β] ＝ ＝＝. ∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝ ＝＝1. ∵0<α<，又0<β<π，tan β＝－>－1. ∴<β<π， ∴－π<－β<－， ... ...